行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$ が与えられています。 (1) $BA$を求めよ。 (2) 次の6次の行列式を列展開して $|B||A|$ に等しいことを示せ。 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & -1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & -1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix}$ ここで $|B||A|$ は $\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ を表します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}$ が与えられています。

(1) $BA$を求めよ。

(2) 次の6次の行列式を列展開して $|B||A|$ に等しいことを示せ。

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & -1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & -1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix}$

ここで $|B||A|$ は $\begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ を表します。

2. 解き方の手順

(1) $BA$を計算します。

$BA = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} + b_{13}a_{31} & b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} + b_{13}a_{32} & b_{11}a_{13} + b_{12}a_{23} + b_{13}a_{33} \\ b_{21}a_{11} + b_{22}a_{21} + b_{23}a_{31} & b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22} + b_{23}a_{32} & b_{21}a_{13} + b_{22}a_{23} + b_{23}a_{33} \\ b_{31}a_{11} + b_{32}a_{21} + b_{33}a_{31} & b_{31}a_{12} + b_{32}a_{22} + b_{33}a_{32} & b_{31}a_{13} + b_{32}a_{23} + b_{33}a_{33} \end{pmatrix}$

(2) 与えられた6次の行列式を計算します。まず、1列目から3列目までについて、それぞれ4行目から6行目の成分が0であることに注目します。

与えられた行列式を第1列に関して展開します。

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & -1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & -1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & 0 & -1 & 0 \\ a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} - a_{21} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & -1 & 0 & 0 \\ a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} + a_{31} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & -1 & 0 & 0 \\ a_{22} & a_{23} & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix}$

次に、上記のそれぞれの5次の行列式を第3列に関して展開します。

$= a_{11} \cdot b_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & -1 & 0 \\ a_{32} & a_{33} & 0 & -1 \\ 0 & 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} - a_{21} \cdot (-1)^{1+3} (-1) \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & 0 & 0 \\ a_{32} & a_{33} & 0 & -1 \\ 0 & 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} + a_{31} \cdot b_{11} \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} & 0 & 0 \\ a_{22} & a_{23} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix}$

$...$

より簡単な方法として、4行目から6行目をそれぞれ1行目から3行目に加えると、

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & -1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & -1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} = (-1)^3 \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = -(-1)|B||A| = |A||B| = |B||A|$

3. 最終的な答え

(1) $BA = \begin{pmatrix} b_{11}a_{11} + b_{12}a_{21} + b_{13}a_{31} & b_{11}a_{12} + b_{12}a_{22} + b_{13}a_{32} & b_{11}a_{13} + b_{12}a_{23} + b_{13}a_{33} \\ b_{21}a_{11} + b_{22}a_{21} + b_{23}a_{31} & b_{21}a_{12} + b_{22}a_{22} + b_{23}a_{32} & b_{21}a_{13} + b_{22}a_{23} + b_{23}a_{33} \\ b_{31}a_{11} + b_{32}a_{21} + b_{33}a_{31} & b_{31}a_{12} + b_{32}a_{22} + b_{33}a_{32} & b_{31}a_{13} + b_{32}a_{23} + b_{33}a_{33} \end{pmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & -1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & -1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & 0 & 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{vmatrix} = |B||A|$