複素数 $z$ に関する以下の方程式が表す図形を答える問題です。 (1) $|z + 1 + i| = 3$ (2) $z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 4 = 1$ (3) $z\overline{z} - (1-i)z - (1+i)\overline{z} = 0$

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する以下の方程式が表す図形を答える問題です。

(1) $|z + 1 + i| = 3$

(2) $z\overline{z} + 2z + 2\overline{z} + 4 = 1$

(3) $z\overline{z} - (1-i)z - (1+i)\overline{z} = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$|z + 1 + i| = 3$ は、 $|z - (-1-i)| = 3$ と書き換えられます。これは、点 $-1-i$ を中心とする半径 3 の円を表します。

(2)

$z = x + yi$ とおくと、$\overline{z} = x - yi$ です。

$z\overline{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2$ です。

与えられた式は、

$x^2 + y^2 + 2(x+yi) + 2(x-yi) + 4 = 1$

$x^2 + y^2 + 4x + 4 + 0i = 1$

$x^2 + 4x + y^2 = -3$

$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = -3 + 4$

$(x+2)^2 + y^2 = 1$

これは、中心 $(-2, 0)$ つまり $-2$ を中心とする半径 1 の円を表します。

(3)

$z = x + yi$ とおくと、$\overline{z} = x - yi$ です。

$z\overline{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2$ です。

与えられた式は、

$x^2 + y^2 - (1-i)(x+yi) - (1+i)(x-yi) = 0$

$x^2 + y^2 - (x+yi -ix +y) - (x-yi +ix +y) = 0$

$x^2 + y^2 - x - y - yi + ix - x - y + yi - ix = 0$

$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1 + 1$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$

これは、中心 $(1, 1)$ つまり $1+i$ を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $-1-i$, 半径 3 の円

(2) 中心 $-2$, 半径 1 の円

(3) 中心 $1+i$, 半径 $\sqrt{2}$ の円