与えられた2次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x - 3$ ($0 \le x \le 4$) (2) $y = -2x^2 + 4x$ ($-2 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ ($0 \le x \le 4$)

(2) $y = -2x^2 + 4x$ ($-2 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ ($0 \le x \le 4$)

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = (x - 1)^2 - 4$

このグラフは、下に凸の放物線であり、頂点の座標は$(1, -4)$です。

定義域は$0 \le x \le 4$なので、定義域の両端と頂点の$x$座標が定義域に含まれているかを確認します。頂点の$x$座標である$x = 1$は、定義域に含まれています。

次に、$x = 0, 1, 4$のときの$y$の値を計算します。

$x = 0$のとき、$y = 0^2 - 2(0) - 3 = -3$

$x = 1$のとき、$y = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$

$x = 4$のとき、$y = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$

したがって、定義域$0 \le x \le 4$における最大値は$5$ ($x = 4$のとき)、最小値は$-4$ ($x = 1$のとき)です。

(2) $y = -2x^2 + 4x$ ($-2 \le x \le 0$)

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 2x) = -2(x - 1)^2 + 2$

このグラフは、上に凸の放物線であり、頂点の座標は$(1, 2)$です。

定義域は$-2 \le x \le 0$なので、定義域の両端と頂点の$x$座標が定義域に含まれているかを確認します。頂点の$x$座標である$x = 1$は、定義域に含まれていません。

次に、$x = -2, 0$のときの$y$の値を計算します。

$x = -2$のとき、$y = -2(-2)^2 + 4(-2) = -2(4) - 8 = -8 - 8 = -16$

$x = 0$のとき、$y = -2(0)^2 + 4(0) = 0$

頂点の$x$座標である$x=1$は定義域に含まれないため、$y$は$x=0$で最大値をとり、$x=-2$で最小値をとります。

したがって、定義域$-2 \le x \le 0$における最大値は$0$ ($x = 0$のとき)、最小値は$-16$ ($x = -2$のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：5 ($x = 4$のとき), 最小値：-4 ($x = 1$のとき)

(2) 最大値：0 ($x = 0$のとき), 最小値：-16 ($x = -2$のとき)