与えられたベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定する問題です。 (1) $\mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (2) $\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定する問題です。

(1) $\mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{b}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\mathbf{c}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトルの組が線形独立であるとは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのが、すべての係数がゼロのときのみであるということです。線形従属であるとは、ゼロでない係数を持つ線形結合が存在し、それがゼロベクトルになるということです。

3つのベクトルが与えられた場合、行列式を用いることで線形独立性を判定できます。行列式がゼロでない場合、ベクトルは線形独立であり、行列式がゼロの場合、ベクトルは線形従属です。

(1) ベクトル $\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$, $\mathbf{b}_3$ について、これらを列ベクトルとする行列の行列式を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$|A| = 2(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 3(1 \cdot 2 - 3 \cdot 2) = 2(3-2) - 1(1-2) + 3(2-6) = 2(1) - 1(-1) + 3(-4) = 2 + 1 - 12 = -9$

$|A| = -9 \neq 0$ なので、$\mathbf{b}_1$, $\mathbf{b}_2$, $\mathbf{b}_3$ は線形独立です。

(2) ベクトル $\mathbf{c}_1$, $\mathbf{c}_2$, $\mathbf{c}_3$ について、これらを列ベクトルとする行列の行列式を計算します。

$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$|B| = 2(2 \cdot 0 - 8 \cdot 2) - 1(5 \cdot 0 - 8 \cdot 1) + 3(5 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 2(0-16) - 1(0-8) + 3(10-2) = 2(-16) - 1(-8) + 3(8) = -32 + 8 + 24 = 0$

$|B| = 0$ なので、$\mathbf{c}_1$, $\mathbf{c}_2$, $\mathbf{c}_3$ は線形従属です。

3. 最終的な答え

(1) 線形独立

(2) 線形従属