問題3.1の(1)と(2)について、置換の積を計算します。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

問題3.1の(1)と(2)について、置換の積を計算します。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換の積は右側の置換を先に行い、その結果を左側の置換で変換します。

(1)

右側の置換 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ によって、1は2に、2は3に、3は1に移ります。

左側の置換 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ によって、2は1に、3は2に、1は3に移ります。

したがって、

1は2に移り、2は1に移るので1は3に移ります。

2は3に移り、3は2に移るので2は1に移ります。

3は1に移り、1は3に移るので3は2に移ります。

よって、積は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

(2)

右側の置換 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ によって、1は4に、2は3に、3は2に、4は1に移ります。

左側の置換 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ によって、4は1に、3は2に、2は4に、1は3に移ります。

したがって、

1は4に移り、4は1に移るので1は3に移ります。

2は3に移り、3は2に移るので2は4に移ります。

3は2に移り、2は4に移るので3は1に移ります。

4は1に移り、1は3に移るので4は2に移ります。

よって、積は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$