与えられた4x4行列Aの行列式を計算します。行列Aは以下の通りです。 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Aの行列式を計算します。行列Aは以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡約化し、行列式を計算します。

まず、1行目を基準にして、2行目以降の1列目の要素を0にします。

2行目に1行目の-1倍を加えます。

3行目に1行目の-2倍を加えます。

4行目に1行目の-5倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 9 \\ 0 & 3 & 10 & 32 \\ 0 & 9 & 32 & 107 \end{pmatrix}$

次に、2行目を基準にして、3行目以降の2列目の要素を0にします。

3行目に2行目の-3倍を加えます。

4行目に2行目の-9倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 26 \end{pmatrix}$

次に、3行目を基準にして、4行目の3列目の要素を0にします。

4行目に3行目の-5倍を加えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。

$\det(A) = 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$

3. 最終的な答え

行列Aの行列式は1です。