$I_n = \int x^n e^{-x} dx$ の不定積分の漸化式を求めます。

1. 問題の内容

$I_n = \int x^n e^{-x} dx$ の不定積分の漸化式を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を使って漸化式を導きます。

$u = x^n$, $dv = e^{-x} dx$ とおくと、

$du = n x^{n-1} dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$I_n = \int x^n e^{-x} dx = x^n (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) n x^{n-1} dx$

$I_n = -x^n e^{-x} + n \int x^{n-1} e^{-x} dx$

ここで $\int x^{n-1} e^{-x} dx = I_{n-1}$ であるから、

$I_n = -x^n e^{-x} + n I_{n-1}$

3. 最終的な答え

$I_n = -x^n e^{-x} + n I_{n-1}$