以下の4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-1}^0 2^x 3^x dx$ (2) $\int_0^{\log_2 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^x}{e^{2x}} dx$ (3) $\int_0^{\log 3} (e^{2x} + e^{-x})^2 dx$ (4) $\int_0^1 (\frac{1}{e^x} + e^{2x})(e^x + e^{3x}) dx$

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-1}^0 2^x 3^x dx$

(2) $\int_0^{\log_2 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^x}{e^{2x}} dx$

(3) $\int_0^{\log 3} (e^{2x} + e^{-x})^2 dx$

(4) $\int_0^1 (\frac{1}{e^x} + e^{2x})(e^x + e^{3x}) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2^x 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$なので、積分は次のようになります。

$\int_{-1}^0 6^x dx$

$6^x$ の積分は $\frac{6^x}{\log 6}$ なので、

$\int_{-1}^0 6^x dx = [\frac{6^x}{\log 6}]_{-1}^0 = \frac{6^0}{\log 6} - \frac{6^{-1}}{\log 6} = \frac{1}{\log 6} - \frac{1}{6\log 6} = \frac{6-1}{6\log 6} = \frac{5}{6\log 6}$

(2)

被積分関数を整理します。

$\frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^x}{e^{2x}} = \frac{e^{4x}}{e^{2x}} + \frac{3e^{2x}}{e^{2x}} - \frac{e^x}{e^{2x}} = e^{2x} + 3 - e^{-x}$

よって、積分は次のようになります。

$\int_0^{\log 2} (e^{2x} + 3 - e^{-x}) dx$

$= [\frac{1}{2}e^{2x} + 3x + e^{-x}]_0^{\log 2}$

$= (\frac{1}{2}e^{2\log 2} + 3\log 2 + e^{-\log 2}) - (\frac{1}{2}e^0 + 3(0) + e^0)$

$= (\frac{1}{2}e^{\log 4} + 3\log 2 + e^{\log (1/2)}) - (\frac{1}{2} + 0 + 1)$

$= (\frac{1}{2} \cdot 4 + 3\log 2 + \frac{1}{2}) - \frac{3}{2}$

$= 2 + 3\log 2 + \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 1 + 3\log 2$

(3)

被積分関数を展開します。

$(e^{2x} + e^{-x})^2 = e^{4x} + 2e^{2x}e^{-x} + e^{-2x} = e^{4x} + 2e^x + e^{-2x}$

よって、積分は次のようになります。

$\int_0^{\log 3} (e^{4x} + 2e^x + e^{-2x}) dx$

$= [\frac{1}{4}e^{4x} + 2e^x - \frac{1}{2}e^{-2x}]_0^{\log 3}$

$= (\frac{1}{4}e^{4\log 3} + 2e^{\log 3} - \frac{1}{2}e^{-2\log 3}) - (\frac{1}{4}e^0 + 2e^0 - \frac{1}{2}e^0)$

$= (\frac{1}{4}e^{\log 81} + 2\cdot 3 - \frac{1}{2}e^{\log (1/9)}) - (\frac{1}{4} + 2 - \frac{1}{2})$

$= (\frac{1}{4} \cdot 81 + 6 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}) - (\frac{1}{4} + \frac{8}{4} - \frac{2}{4})$

$= \frac{81}{4} + 6 - \frac{1}{18} - \frac{7}{4}$

$= \frac{81-7}{4} + 6 - \frac{1}{18} = \frac{74}{4} + 6 - \frac{1}{18} = \frac{37}{2} + 6 - \frac{1}{18} = \frac{37 \cdot 9 + 6 \cdot 18 - 1}{18} = \frac{333 + 108 - 1}{18} = \frac{440}{18} = \frac{220}{9}$

(4)

被積分関数を展開します。

$(\frac{1}{e^x} + e^{2x})(e^x + e^{3x}) = (e^{-x} + e^{2x})(e^x + e^{3x}) = e^{-x}e^x + e^{-x}e^{3x} + e^{2x}e^x + e^{2x}e^{3x} = 1 + e^{2x} + e^{3x} + e^{5x}$

よって、積分は次のようになります。

$\int_0^1 (1 + e^{2x} + e^{3x} + e^{5x}) dx$

$= [x + \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{1}{5}e^{5x}]_0^1$

$= (1 + \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{5}e^5) - (0 + \frac{1}{2}e^0 + \frac{1}{3}e^0 + \frac{1}{5}e^0)$

$= 1 + \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{5}e^5 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$

$= 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{5}e^5$

$= \frac{30 - 15 - 10 - 6}{30} + \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{5}e^5 = \frac{-1}{30} + \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{5}e^5$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{6\log 6}$

(2) $1 + 3\log 2$

(3) $\frac{220}{9}$

(4) $-\frac{1}{30} + \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{3}e^3 + \frac{1}{5}e^5$