$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2}$ を求めよ。

## 問題1(1)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は不定形（$\frac{0}{0}$）なので、ロピタルの定理を使うことを検討します。

まず、分子を $f(x) = (1+x)\sin x - x\cos x$、分母を $g(x) = x^2$ と置きます。

それぞれの微分を計算します。

$f'(x) = \sin x + (1+x)\cos x - \cos x + x\sin x = \sin x + \cos x + x\cos x - \cos x + x\sin x = \sin x + x\cos x + x\sin x$

$g'(x) = 2x$

$x \to 0$ のとき $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を使います。

$f''(x) = \cos x + \cos x - x\sin x + \sin x + x\cos x = 2\cos x + \sin x + x(\cos x - \sin x)$

$g''(x) = 2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x + \sin x + x(\cos x - \sin x)}{2} = \frac{2\cos 0 + \sin 0 + 0(\cos 0 - \sin 0)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)\sin x - x\cos x}{x^2} = 1$

3. 最終的な答え

1

## 問題1(2)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x \sin x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限も不定形（$\frac{0}{0}$）なので、ロピタルの定理を使います。

分子を $f(x) = e^{x^2} - \cos x$、分母を $g(x) = x\sin x$ と置きます。

それぞれの微分を計算します。

$f'(x) = 2xe^{x^2} + \sin x$

$g'(x) = \sin x + x\cos x$

$x \to 0$ のとき $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を使います。

$f''(x) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} + \cos x = (2+4x^2)e^{x^2} + \cos x$

$g''(x) = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(2+4x^2)e^{x^2} + \cos x}{2\cos x - x\sin x} = \frac{(2+0)e^0 + \cos 0}{2\cos 0 - 0} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x \sin x} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

3/2