曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ($0 \le x \le 1$) の長さを求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ($0 \le x \le 1$) の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は以下の式で求められます。

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$$y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

次に、$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ を計算します。

$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$$

次に、$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ を計算します。

$$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4 + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2$$

したがって、$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$ は次のようになります。

$$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

最後に、積分を計算します。

$$L = \int_0^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = \left[\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right]_0^1 = \frac{e^1 - e^{-1}}{2} - \frac{e^0 - e^0}{2} = \frac{e - e^{-1}}{2} = \frac{e - \frac{1}{e}}{2} = \frac{e^2 - 1}{2e}$$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2 - 1}{2e}$