$I_n = \int x^n a^x dx$ ($a>0, a \neq 1$) の漸化式を求めよ。

1. 問題の内容

$I_n = \int x^n a^x dx$ ($a>0, a \neq 1$) の漸化式を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて漸化式を導出します。

$u = x^n$、$dv = a^x dx$ とおくと、

$du = nx^{n-1}dx$、$v = \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$I_n = \int x^n a^x dx = x^n \frac{a^x}{\ln a} - \int \frac{a^x}{\ln a} nx^{n-1} dx$

$I_n = \frac{x^n a^x}{\ln a} - \frac{n}{\ln a} \int x^{n-1} a^x dx$

ここで、$\int x^{n-1} a^x dx = I_{n-1}$ であるから、

$I_n = \frac{x^n a^x}{\ln a} - \frac{n}{\ln a} I_{n-1}$

3. 最終的な答え

$I_n = \frac{x^n a^x}{\ln a} - \frac{n}{\ln a} I_{n-1}$