定積分 $\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2 + x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2 + x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{x+2}{x^2+x} = \frac{x+2}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$$

両辺に $x(x+1)$ をかけると

$$x+2 = A(x+1) + Bx$$

$x = 0$ のとき $2 = A(0+1) + B(0)$ なので $A = 2$。

$x = -1$ のとき $1 = A(-1+1) + B(-1)$ なので $-B = 1$、すなわち $B = -1$。

したがって

$$\frac{x+2}{x^2+x} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}$$

これより

$$\int \frac{x+2}{x^2+x} dx = \int \left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx = 2\int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx = 2\ln|x| - \ln|x+1| + C = \ln(x^2) - \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{x^2}{x+1}\right| + C$$

よって、定積分は

$$\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2+x} dx = \left[ \ln\left|\frac{x^2}{x+1}\right| \right]_{-3}^{-2} = \ln\left|\frac{(-2)^2}{-2+1}\right| - \ln\left|\frac{(-3)^2}{-3+1}\right| = \ln\left|\frac{4}{-1}\right| - \ln\left|\frac{9}{-2}\right| = \ln(4) - \ln\left(\frac{9}{2}\right) = \ln(4) - \ln(9) + \ln(2) = \ln\left(\frac{4 \cdot 2}{9}\right) = \ln\left(\frac{8}{9}\right)$$

3. 最終的な答え

$\ln\left(\frac{8}{9}\right)$