2つの直線 $x/2 = 1-y = z-5$ と $x-2 = (y+1)/2 = z/3$ に平行で、点 $(3, -1, 4)$ を通る平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $x/2 = 1-y = z-5$ と $x-2 = (y+1)/2 = z/3$ に平行で、点 $(3, -1, 4)$ を通る平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の方向ベクトルを求めます。

直線 $x/2 = 1-y = z-5$ は、

$x/2 = (y - 1)/(-1) = (z - 5)/1$ と変形できるので、方向ベクトルは $\vec{v_1} = (2, -1, 1)$ です。

直線 $x-2 = (y+1)/2 = z/3$ は、

$(x - 2)/1 = (y + 1)/2 = (z - 0)/3$ と変形できるので、方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, 2, 3)$ です。

求める平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、2つの方向ベクトル $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ に垂直なので、外積として計算できます。

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (2, -1, 1) \times (1, 2, 3) = ((-1)(3) - (1)(2), (1)(1) - (2)(3), (2)(2) - (-1)(1)) = (-3-2, 1-6, 4+1) = (-5, -5, 5)$

法線ベクトルは $(-5, -5, 5)$ の定数倍でも構わないので、簡単にするために $(-1, -1, 1)$ を法線ベクトルとします。

点 $(3, -1, 4)$ を通り、法線ベクトルが $(-1, -1, 1)$ である平面の方程式は、

$-(x - 3) - (y + 1) + (z - 4) = 0$

$-x + 3 - y - 1 + z - 4 = 0$

$-x - y + z - 2 = 0$

$x + y - z + 2 = 0$

3. 最終的な答え

$x + y - z + 2 = 0$