直線 $l: \frac{x-1}{2} = y = \frac{z+2}{3}$ と点 $A(1, -1, 3)$ が与えられている。 (1) 直線 $l$ 上の点 $P$ で、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ が直線 $l$ と垂直になるような点 $P$ を求める。 (2) 直線 $l$ 上の点 $Q$ で、$AQ = 2\sqrt{17}$ となるような点 $Q$ を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: \frac{x-1}{2} = y = \frac{z+2}{3}$ と点 $A(1, -1, 3)$ が与えられている。

(1) 直線 $l$ 上の点 $P$ で、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ が直線 $l$ と垂直になるような点 $P$ を求める。

(2) 直線 $l$ 上の点 $Q$ で、$AQ = 2\sqrt{17}$ となるような点 $Q$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、直線 $l$ をパラメータ表示する。$\frac{x-1}{2} = y = \frac{z+2}{3} = t$ とおくと、

$x = 2t + 1$

$y = t$

$z = 3t - 2$

となる。したがって、直線 $l$ 上の点 $P$ は $P(2t+1, t, 3t-2)$ と表せる。

$\overrightarrow{AP} = (2t+1-1, t-(-1), 3t-2-3) = (2t, t+1, 3t-5)$

直線 $l$ の方向ベクトルは $\vec{v} = (2, 1, 3)$ である。$\overrightarrow{AP}$ と $\vec{v}$ が垂直になる条件は $\overrightarrow{AP} \cdot \vec{v} = 0$ である。

$(2t, t+1, 3t-5) \cdot (2, 1, 3) = 0$

$4t + t + 1 + 9t - 15 = 0$

$14t - 14 = 0$

$14t = 14$

$t = 1$

したがって、$P(2(1)+1, 1, 3(1)-2) = P(3, 1, 1)$

(2)

直線 $l$ 上の点 $Q$ は $Q(2t+1, t, 3t-2)$ と表せる。

$AQ = 2\sqrt{17}$ であるから、$AQ^2 = (2\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$

$\overrightarrow{AQ} = (2t+1-1, t-(-1), 3t-2-3) = (2t, t+1, 3t-5)$

$AQ^2 = (2t)^2 + (t+1)^2 + (3t-5)^2 = 4t^2 + t^2 + 2t + 1 + 9t^2 - 30t + 25 = 14t^2 - 28t + 26$

$14t^2 - 28t + 26 = 68$

$14t^2 - 28t - 42 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t-3)(t+1) = 0$

$t = 3$ または $t = -1$

$t = 3$ のとき、 $Q(2(3)+1, 3, 3(3)-2) = Q(7, 3, 7)$

$t = -1$ のとき、 $Q(2(-1)+1, -1, 3(-1)-2) = Q(-1, -1, -5)$

3. 最終的な答え

(1) $P(3, 1, 1)$

(2) $Q(7, 3, 7)$ または $Q(-1, -1, -5)$