2点 $(2\sqrt{7}, 0)$ と $(-2\sqrt{7}, 0)$ を焦点とし、2つの焦点からの距離の和が16である楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ について、$a$ と $b$ の値を求め、この楕円の概形を選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

2点 $(2\sqrt{7}, 0)$ と $(-2\sqrt{7}, 0)$ を焦点とし、2つの焦点からの距離の和が16である楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ について、$a$ と $b$ の値を求め、この楕円の概形を選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

条件より、$2a = 16$ なので、

$a = \frac{16}{2} = 8$

したがって、3には8が入る。

また、焦点の座標は $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ である。

問題文より、焦点の座標は $(\pm 2\sqrt{7}, 0)$ なので、

$\sqrt{a^2 - b^2} = 2\sqrt{7}$

したがって、4には2が入り、5には7が入る。

$a = 8$ を代入すると、

$\sqrt{8^2 - b^2} = 2\sqrt{7}$

$8^2 - b^2 = (2\sqrt{7})^2$

$64 - b^2 = 4 \times 7 = 28$

$b^2 = 64 - 28 = 36$

$b = \sqrt{36} = 6$

よって、$a=8$、$b=6$であり、楕円の式は $\frac{x^2}{8^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1$、すなわち $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{36} = 1$ である。

この楕円はx軸方向に長い楕円なので、選択肢の中から(1)を選ぶ。

したがって、7には(1)が入る。

3. 最終的な答え

1: 16

2: 16

3: 8

4: 2

5: 7

6: 6

7: 1