双曲線 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{8} = 1$ を C とする。直線 $l: y = 2x + k$ が C に接するとき、直線 l の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{8} = 1$ を C とする。直線 $l: y = 2x + k$ が C に接するとき、直線 l の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線lの方程式 $y = 2x + k$ を双曲線 C の方程式 $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{8} = 1$ に代入します。

$\frac{x^2}{3} - \frac{(2x + k)^2}{8} = 1$

これを整理すると、

$\frac{x^2}{3} - \frac{4x^2 + 4kx + k^2}{8} = 1$

両辺に 24 を掛けて

$8x^2 - 3(4x^2 + 4kx + k^2) = 24$

$8x^2 - 12x^2 - 12kx - 3k^2 = 24$

$-4x^2 - 12kx - 3k^2 - 24 = 0$

$4x^2 + 12kx + 3k^2 + 24 = 0$

$x^2 + 3kx + \frac{3}{4}k^2 + 6 = 0$

よって、

1 = 1

23 = 3

4 = 3/4 = 0.75

56 = 6

この判別式を D とおくと、$D = 0$ になれば良いので、

$D = (3k)^2 - 4 \times 1 \times (\frac{3}{4}k^2 + 6) = 0$

$\frac{D}{4} = (\frac{3}{2}k)^2 - 1 \times (\frac{3}{4}k^2 + 6)$

$\frac{D}{4} = \frac{9}{4}k^2 - \frac{3}{4}k^2 - 6$

$\frac{D}{4} = \frac{6}{4}k^2 - 6 = \frac{3}{2}k^2 - 6$

$D = 0$ となる条件は、C に接するので $D=0$ となります。

$\frac{3}{2}k^2 - 6 = 0$

$\frac{3}{2}k^2 = 6$

$k^2 = 6 \times \frac{2}{3} = 4$

$k = \pm 2$

よって、

9 10 = 3/2

11 12 = 6

13 = 2

14 = 2

求める直線の方程式は $y = 2x \pm 2$

7 の選択肢は① = を選びます。

3. 最終的な答え

k = ±2

l は y = 2x ± 2 と求めることができます。