$a, b$ は実数で、$b > 0$ とする。方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 5 = 0$ の解が整数のみであるとき、その解と $a, b$ の値を求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

$a, b$ は実数で、$b > 0$ とする。方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 5 = 0$ の解が整数のみであるとき、その解と $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、方程式の整数解を $\alpha, \beta, \gamma$ とおくと、解と係数の関係より、

\begin{align*}

\alpha + \beta + \gamma &= -a \\

\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha &= b \\

\alpha \beta \gamma &= 5

\end{align*}

$\alpha, \beta, \gamma$ は整数なので、$\alpha \beta \gamma = 5$ を満たす整数の組 $(\alpha, \beta, \gamma)$ は、符号を考慮すると、

$(1, 1, 5), (1, -1, -5), (-1, -1, 5)$ のいずれかである。

また、$b>0$ であることから、$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b > 0$ を満たす必要がある。

(i) $(\alpha, \beta, \gamma) = (1, 1, 5)$ のとき、

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1 + 5 + 5 = 11 > 0$ であり、$b = 11$。

$\alpha + \beta + \gamma = 1 + 1 + 5 = 7$ なので、$a = -7$。

このとき、方程式は $x^3 - 7x^2 + 11x - 5 = 0$ となり、$(x-1)^2(x-5) = 0$ と因数分解されるので、解は $x = 1, 5$ (重解)。

(ii) $(\alpha, \beta, \gamma) = (1, -1, -5)$ のとき、

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -1 + 5 - 5 = -1 < 0$ なので、$b > 0$ を満たさない。

(iii) $(\alpha, \beta, \gamma) = (-1, -1, 5)$ のとき、

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1 - 5 - 5 = -9 < 0$ なので、$b > 0$ を満たさない。

したがって、(i) の場合のみが条件を満たす。

3. 最終的な答え

解: $x = 1, 5$ (重解)

$a = -7$

$b = 11$