不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があるため、$4x+5 \ge 0$ より、$x \ge -\frac{5}{4}$ である必要がある。

次に、両辺を2倍して

$2\sqrt{4x+5} > x+5$

両辺を2乗すると

$4(4x+5) > (x+5)^2$

$16x+20 > x^2+10x+25$

$0 > x^2-6x+5$

$x^2-6x+5 < 0$

因数分解すると、

$(x-1)(x-5) < 0$

したがって、$1 < x < 5$

根号の中身が0以上という条件 $x \ge -\frac{5}{4}$ と、$1 < x < 5$ を合わせると、$1 < x < 5$となる。

3. 最終的な答え

$1 < x < 5$