不等式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、真数条件を考慮する。

$x+1 > 0$ より $x > -1$

$x-2 > 0$ より $x > 2$

したがって、$x > 2$ である。

次に、不等式を変形する。

$\log_2(x+1) + \log_2(x-2) < 2$

$\log_2((x+1)(x-2)) < 2$

$\log_2(x^2 - x - 2) < 2$

底が2で1より大きいので、

$x^2 - x - 2 < 2^2$

$x^2 - x - 2 < 4$

$x^2 - x - 6 < 0$

$(x-3)(x+2) < 0$

$-2 < x < 3$

真数条件 $x > 2$ と $-2 < x < 3$ を満たす $x$ の範囲は $2 < x < 3$ である。

3. 最終的な答え

$2 < x < 3$