黒と白の正方形タイルを規則正しく並べた図形において、黒のタイルが白のタイルより300枚多く使われるのは何番目の図形か、また、その図形に使われる黒のタイルの枚数を求める問題です。

1. 問題の内容

黒と白の正方形タイルを規則正しく並べた図形において、黒のタイルが白のタイルより300枚多く使われるのは何番目の図形か、また、その図形に使われる黒のタイルの枚数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、n番目の図形に使われる黒のタイルの枚数を求めます。1番目の図形で黒タイルは6枚、2番目で16枚、3番目で26枚なので、黒タイルの枚数は $10n - 4$ と表せます。

次に、白タイルの枚数をnを用いて表します。

1番目の図形で白タイルは2枚、2番目で6枚、3番目で12枚です。白タイルの枚数は、隣り合う番号の差が4, 6, ...となっているので、二次式で表せると考えられます。

$an^2 + bn + c$とおき、n=1,2,3を代入すると、

$a+b+c = 2$

$4a+2b+c = 6$

$9a+3b+c = 12$

これを解くと、$a = 1$, $b = 1$, $c = 0$となります。

したがって、白タイルの枚数は$n^2 + n$ と表せます。

黒タイルが白タイルより300枚多いので、以下の式が成り立ちます。

$10n - 4 = n^2 + n + 300$

$n^2 - 9n + 304 = 0$

$(n-16)(n+19) = 0$

$n = 16$ または $n = -19$

$n$は自然数なので、$n = 16$となります。

16番目の図形に使われる黒タイルの枚数は、$10 * 16 - 4 = 160 - 4 = 156$枚です。

3. 最終的な答え

16番目の図形で、黒のタイルは156枚使われる。