不等式 $-\sqrt{x+1} > -x + 5$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $-\sqrt{x+1} > -x + 5$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x+1}$ が定義されるための条件を考えます。根号の中身は0以上でなければならないので、$x+1 \ge 0$、つまり $x \ge -1$ です。

次に、不等式 $-\sqrt{x+1} > -x + 5$ を変形します。

両辺に $-1$ をかけると、不等号の向きが変わって $\sqrt{x+1} < x - 5$ となります。

ここで、$\sqrt{x+1}$ は常に0以上なので、$x-5$ も0以上である必要があります。したがって、$x-5 > 0$、つまり $x > 5$ でなければなりません。

$x \ge -1$ かつ $x > 5$ なので、$x > 5$ が成り立ちます。

次に、$\sqrt{x+1} < x - 5$ の両辺を2乗します。両辺が正なので、不等号の向きは変わりません。

$x + 1 < (x - 5)^2$

$x + 1 < x^2 - 10x + 25$

$0 < x^2 - 11x + 24$

$x^2 - 11x + 24 > 0$

この2次不等式を解くために、$x^2 - 11x + 24 = 0$ となる $x$ を求めます。

$(x - 3)(x - 8) = 0$

$x = 3, 8$

したがって、$x < 3$ または $x > 8$ です。

しかし、$x > 5$ である必要があるので、$x < 3$ は条件を満たしません。したがって、$x > 8$ となります。

3. 最終的な答え

$x > 8$