$x$は正の数であり、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$を満たしている。このとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x$は正の数であり、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$を満たしている。このとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ の両辺を2乗する。

$(x - \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2})^2$

$x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 2$

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$