放物線 $C: y = x^2$ と直線 $l: y = m(x-1)$ が異なる2点A, Bで交わっているとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2$ と直線 $l: y = m(x-1)$ が異なる2点A, Bで交わっているとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線と直線が異なる2点で交わる条件は、連立方程式を解いたときの判別式が正になることです。

まず、連立方程式を作ります。

$y = x^2$

$y = m(x-1)$

これらを連立させて、$y$ を消去すると、

$x^2 = m(x-1)$

$x^2 = mx - m$

$x^2 - mx + m = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が正であることです。

判別式 $D$ は、

$D = (-m)^2 - 4(1)(m)$

$D = m^2 - 4m$

異なる2つの実数解を持つためには、$D > 0$ である必要があるので、

$m^2 - 4m > 0$

$m(m-4) > 0$

この不等式を解くと、

$m < 0$ または $m > 4$

3. 最終的な答え

$m < 0$ または $m > 4$