与えられた不等式 $|x-3| \le -2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|x-3| \le -2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして考えます。

(1) $x-3 \ge 0$、つまり $x \ge 3$ のとき

$|x-3| = x-3$ となるので、不等式は

$x - 3 \le -2x$

となります。これを解くと、

$3x \le 3$

$x \le 1$

となります。しかし、$x \ge 3$ という条件があるので、$x \le 1$ を満たす解は存在しません。

(2) $x-3 < 0$、つまり $x < 3$ のとき

$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ となるので、不等式は

$3 - x \le -2x$

となります。これを解くと、

$x \le -2x - 3$

$x+2x \le -3$

$3x \le -3$

$x \le -1$

となります。この解は、$x < 3$ を満たしているので、$x \le -1$ がこの範囲での解となります。

また、$|x-3| \ge 0$ である必要があるため、$-2x \ge 0$ となる必要があります。これは、$x \le 0$ と同値です。

したがって、$x \le -1$ は $x \le 0$ を満たしています。

3. 最終的な答え

$x \le -1$