次の不等式を解きます。 $9^{x-1} > \frac{1}{27}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$9^{x-1} > \frac{1}{27}$

2. 解き方の手順

まず、両辺を同じ底の指数で表します。9 と 27 はどちらも 3 の累乗で表すことができます。

$9 = 3^2$ なので、$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}$ となります。

また、$27 = 3^3$ なので、$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$ となります。

したがって、元の不等式は次のように書き換えられます。

$3^{2x-2} > 3^{-3}$

指数関数 $y = 3^x$ は単調増加なので、不等式の両辺の指数を比較することができます。

$2x - 2 > -3$

この不等式を解きます。

$2x > -3 + 2$

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x > -\frac{1}{2}$