与えられた不等式 $|x-3| \le -2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|x-3| \le -2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くために、絶対値の中身の符号で場合分けを行います。

(i) $x-3 \ge 0$ すなわち $x \ge 3$ のとき、 $|x-3| = x-3$ となるので、不等式は

$x-3 \le -2x$

となります。これを解くと、

$3x \le 3$

$x \le 1$

となります。しかし、$x \ge 3$ という条件のもとで $x \le 1$ を満たす $x$ は存在しないので、この場合は解なしです。

(ii) $x-3 < 0$ すなわち $x < 3$ のとき、 $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ となるので、不等式は

$3-x \le -2x$

となります。これを解くと、

$x \le -2x - 3$

$x + 2x \le -3$

$3x \le -3$

$x \le -1$

となります。$x < 3$ という条件のもとで $x \le -1$ を満たす $x$ は $x \le -1$ です。

したがって、$x \le -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x \le -1$