数列$\{a_n\}$は、$a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, \dots$)を満たし、数列$\{b_n\}$は、$b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$)を満たしている。 (1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求める。 (2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求める。 (3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$を計算する。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は、$a_1 = 2$, $a_{n+1} = a_n + 3$ ($n=1, 2, 3, \dots$)を満たし、数列$\{b_n\}$は、$b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$)を満たしている。

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項を求める。

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$は初項2, 公差3の等差数列であるから、

$a_n = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$

(2) 数列$\{b_n\}$は初項2, 公比2の等比数列であるから、

$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n (3k-1)2^k$を計算する。

$S = \sum_{k=1}^n (3k-1)2^k = 2 \sum_{k=1}^n (3k-1)2^{k-1}$

$S = 2 \cdot 2^0 + 5 \cdot 2^1 + 8 \cdot 2^2 + \dots + (3n-1)2^n$

$2S = 2 \cdot 2^1 + 5 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2^3 + \dots + (3n-1)2^{n+1}$

$S - 2S = 2 + (5-2)2^1 + (8-5)2^2 + \dots + (3n-1-(3(n-1)-1))2^n - (3n-1)2^{n+1}$

$-S = 2 + 3\cdot 2^1 + 3\cdot 2^2 + \dots + 3\cdot 2^n - (3n-1)2^{n+1}$

$-S = 2 + 3\sum_{k=1}^n 2^k - (3n-1)2^{n+1} = 2 + 3\cdot \frac{2(2^n-1)}{2-1} - (3n-1)2^{n+1}$

$-S = 2 + 6(2^n-1) - (3n-1)2^{n+1} = 2 + 6\cdot 2^n - 6 - (3n-1)2^{n+1}$

$-S = -4 + 6\cdot 2^n - (3n-1)2^{n+1} = -4 + 6\cdot 2^n - 3n\cdot 2^{n+1} + 2^{n+1}$

$-S = -4 + (6+2)\cdot 2^n - 3n\cdot 2^{n+1} = -4 + 8\cdot 2^n - 3n\cdot 2^{n+1} = -4 + 4\cdot 2^{n+1} - 3n\cdot 2^{n+1}$

$-S = -4 + (4 - 3n)2^{n+1}$

$S = 4 + (3n-4)2^{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3n - 1$

(2) $b_n = 2^n$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = (3n - 4) \cdot 2^{n+1} + 4$