以下の4つの命題について、条件が十分条件、必要条件、必要十分条件、いずれでもないかを判断する問題です。 (1) 「$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$」であることは、「$x^2 + y^2 \le 4$」であるための条件。 (2) 「$|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$」であることは、「$|x| + |y| \le 1$」であるための条件。 (3) 「$x > 2$」であることは、「$x^2 - 3x - 10 > 0$」であるための条件。 (4) 自然数 $n$ に対して、「$n$ を 4 で割ると 1 余る」ことは、「$n^2$ を 4 で割ると 1 余る」ための条件。 選択肢： ① 必要十分条件である ② 必要条件であるが、十分条件ではない ③ 十分条件であるが、必要条件ではない ④ 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

以下の4つの命題について、条件が十分条件、必要条件、必要十分条件、いずれでもないかを判断する問題です。

(1) 「$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$」であることは、「$x^2 + y^2 \le 4$」であるための条件。

(2) 「$|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$」であることは、「$|x| + |y| \le 1$」であるための条件。

(3) 「$x > 2$」であることは、「$x^2 - 3x - 10 > 0$」であるための条件。

(4) 自然数 $n$ に対して、「$n$ を 4 で割ると 1 余る」ことは、「$n^2$ を 4 で割ると 1 余る」ための条件。

選択肢：

① 必要十分条件である

② 必要条件であるが、十分条件ではない

③ 十分条件であるが、必要条件ではない

④ 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1)

$x = 2, y = 0$ のとき、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ を満たし、$x^2 + y^2 = 4 \le 4$ も満たす。

$x = 0, y = 2$ のとき、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ を満たし、$x^2 + y^2 = 4 \le 4$ も満たす。

$x = -2, y = 0$ のとき、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ を満たし、$x^2 + y^2 = 4 \le 4$ も満たす。

$x = 0, y = -2$ のとき、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ を満たし、$x^2 + y^2 = 4 \le 4$ も満たす。

しかし、$x = 1, y = 1$ のとき、$x^2 + y^2 = 2 \le 4$ を満たすが、$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$。

$x = 2, y = 2$のとき、$x^2+y^2=8 > 4$ であるから、$x^2+y^2 \le 4$を満たさない。

$x^2 + y^2 \le 4$ は半径2の円の内部（境界を含む）を表す。

$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$ は一辺の長さが4の正方形を表す。

正方形は円の外側にも領域を持つので、「$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$」は「$x^2 + y^2 \le 4$」であるための必要条件。

円の中にある点は正方形の中にもあるので、「$x^2 + y^2 \le 4$」は「$-2 \le x \le 2$ かつ $-2 \le y \le 2$」であるための十分条件。

よって、必要条件であるが、十分条件ではない。

(2)

$|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$は正方形の領域を表す。$|x|+|y| \le 1$はひし形の領域を表す。

$|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$ ならば $|x| + |y| \le 1$ とは限らない。

たとえば、$x = 1, y = 1$ のとき、$|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$ を満たすが、$|x| + |y| = 2 > 1$ となる。

$|x| + |y| \le 1$ ならば $|x| \le 1$ かつ $|y| \le 1$ は成り立つ。

したがって、十分条件であるが、必要条件ではない。

(3)

$x^2 - 3x - 10 > 0$

$(x - 5)(x + 2) > 0$

$x < -2$ または $x > 5$

$x > 2$ ならば $x^2 - 3x - 10 > 0$ は必要条件でも十分条件でもない。十分条件ではないことは、$x=3$のとき、$x>2$を満たすが、$x^2-3x-10 = 9-9-10 = -10 < 0$を満たさないからわかる。必要条件ではないことは、$x=-3$のとき、$x<-2$を満たすので、$x^2-3x-10 = 9+9-10 = 8 > 0$となるが、$x > 2$を満たさないからわかる。

(4)

$n$ を 4 で割ると 1 余るとき、$n = 4k + 1$ ($k$ は整数) と表せる。

$n^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$

$n^2$ を 4 で割ると 1 余る。

$n^2$ を 4 で割ると 1 余るならば、$n$ を 4 で割ると 1 余るか？

$n^2 = 4m + 1$ ($m$ は整数)

$n^2 - 1 = 4m$

$(n - 1)(n + 1) = 4m$

$n = 2l + 1$ ($l$ は整数) とおくと、$n$ は奇数。

$(2l)(2l + 2) = 4m$

$4l(l + 1) = 4m$

$l(l + 1) = m$

$l$ が偶数なら $l = 2p$ ($p$ は整数)

$n = 2(2p) + 1 = 4p + 1$

$l$ が奇数なら $l = 2p + 1$ ($p$ は整数)

$n = 2(2p + 1) + 1 = 4p + 3$

$n = 4p + 3$ の場合、$n$ を 4 で割ると 3 余る。

したがって、$n$ を 4 で割ると 1 余ることは、$n^2$ を 4 で割ると 1 余るための十分条件。

逆は成り立たないので、必要条件ではない。

3. 最終的な答え

1: ②

2: ③

3: ④

4: ③