与えられた問題は、総和 $\sum_{k=1}^{n} (k-3)^2$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和 $\sum_{k=1}^{n} (k-3)^2$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$(k-3)^2$ を展開します。

$$(k-3)^2 = k^2 - 6k + 9$$

次に、総和の性質を利用して、それぞれの項に分解します。

$$\sum_{k=1}^{n} (k-3)^2 = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - 6k + 9) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + 9\sum_{k=1}^{n} 1$$

ここで、以下の公式を利用します。

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$$

これらの公式を代入します。

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + 9\sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + 9n$$

式を整理します。

$$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3n(n+1) + 9n$$

$$= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) - 18(n+1) + 54]$$

$$= \frac{n}{6} [2n^2 + 3n + 1 - 18n - 18 + 54]$$

$$= \frac{n}{6} [2n^2 - 15n + 37]$$

$$= \frac{2n^3 - 15n^2 + 37n}{6}$$

3. 最終的な答え

$\frac{2n^3 - 15n^2 + 37n}{6}$