数列 $1, 1+3, 1+3+5, \dots, 1+3+5+7+\dots+(2n-1)$ の和 $S_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+3, 1+3+5, \dots, 1+3+5+7+\dots+(2n-1)$ の和 $S_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、この数列の第 $k$ 項 $a_k$ を求めます。第 $k$ 項は初項が1、末項が $2k-1$、公差が2の等差数列の和なので、

$a_k = \sum_{i=1}^k (2i - 1) = 2\sum_{i=1}^k i - \sum_{i=1}^k 1 = 2\frac{k(k+1)}{2} - k = k(k+1) - k = k^2 + k - k = k^2$

となります。

したがって、求める和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n k^2$

となります。

$k^2$ の和の公式は

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

なので、

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

となります。

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$