$x_1x_2$平面内の3点A, B, Cの原点を始点とする位置ベクトル$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を数ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$ で表す。$x_1$軸方向の基本ベクトルを$\vec{e_1}$, $x_2$軸方向の基本ベクトルを$\vec{e_2}$とする。 (1) $\vec{a} \wedge \vec{b} + \vec{a} \wedge \vec{c}$ を計算して $\vec{e_1} \wedge \vec{e_2} \boxed{1} + \vec{e_1} \wedge \vec{e_2} \boxed{2}$ の式で表せ。 (2) $\vec{a} \wedge (\vec{b} + \vec{c})$ を $\vec{e_1} \wedge \vec{e_2} \boxed{3}$ の式で表せ。 (3) $\boxed{1}, \boxed{2}, \boxed{3}$ の行列式の間に成り立つ関係を式で表せ。

1. 問題の内容

$x_1x_2$平面内の3点A, B, Cの原点を始点とする位置ベクトル$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を数ベクトル

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}, \vec{c} = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$

で表す。$x_1$軸方向の基本ベクトルを$\vec{e_1}$, $x_2$軸方向の基本ベクトルを$\vec{e_2}$とする。

(1) $\vec{a} \wedge \vec{b} + \vec{a} \wedge \vec{c}$ を計算して $\vec{e_1} \wedge \vec{e_2} \boxed{1} + \vec{e_1} \wedge \vec{e_2} \boxed{2}$ の式で表せ。

(2) $\vec{a} \wedge (\vec{b} + \vec{c})$ を $\vec{e_1} \wedge \vec{e_2} \boxed{3}$ の式で表せ。

(3) $\boxed{1}, \boxed{2}, \boxed{3}$ の行列式の間に成り立つ関係を式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\vec{a} \wedge \vec{b}$を計算する。

$\vec{a} \wedge \vec{b} = (a_1 \vec{e_1} + a_2 \vec{e_2}) \wedge (b_1 \vec{e_1} + b_2 \vec{e_2})$

$= a_1 b_1 (\vec{e_1} \wedge \vec{e_1}) + a_1 b_2 (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) + a_2 b_1 (\vec{e_2} \wedge \vec{e_1}) + a_2 b_2 (\vec{e_2} \wedge \vec{e_2})$

$\vec{e_1} \wedge \vec{e_1} = \vec{e_2} \wedge \vec{e_2} = 0$ かつ $\vec{e_2} \wedge \vec{e_1} = - \vec{e_1} \wedge \vec{e_2}$ より

$\vec{a} \wedge \vec{b} = a_1 b_2 (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) - a_2 b_1 (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) = (a_1 b_2 - a_2 b_1) (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2})$

$= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2})$

同様に、$\vec{a} \wedge \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2})$

よって、$\vec{a} \wedge \vec{b} + \vec{a} \wedge \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) + \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2})$

したがって、$\boxed{1} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}, \boxed{2} = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}$

(2) $\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} b_1 + c_1 \\ b_2 + c_2 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \wedge (\vec{b} + \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \end{vmatrix} (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2}) = (a_1(b_2+c_2) - a_2(b_1+c_1))(\vec{e_1} \wedge \vec{e_2})$

$= (a_1 b_2 + a_1 c_2 - a_2 b_1 - a_2 c_1) (\vec{e_1} \wedge \vec{e_2})$

したがって、$\boxed{3} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \end{vmatrix}$

(3) (1), (2)の結果より、

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\boxed{1} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}, \boxed{2} = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}$

(2) $\boxed{3} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \end{vmatrix}$