右の図において、$\angle CBG = \angle EBG$、$ \angle CDG = \angle FDG$ であるとき、$ \angle x$ の大きさを求める問題です。ただし、$\angle BAC = 60^\circ$、$ \angle BCD = 150^\circ$が与えられています。

1. 問題の内容

右の図において、$\angle CBG = \angle EBG$、$\angle CDG = \angle FDG$ であるとき、$\angle x$ の大きさを求める問題です。ただし、$\angle BAC = 60^\circ$、$\angle BCD = 150^\circ$が与えられています。

2. 解き方の手順

* まず、四角形ABCDの内角の和を考えます。四角形の内角の和は $360^\circ$ なので、$\angle ABC + \angle CDA = 360^\circ - (\angle BAC + \angle BCD) = 360^\circ - (60^\circ + 150^\circ) = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$ となります。

* 次に、$\angle CBG = \angle EBG$、$\angle CDG = \angle FDG$という条件から、$BG$と$DG$はそれぞれ$\angle ABC$と$\angle CDA$の二等分線であることがわかります。したがって、$\angle GBC = \frac{1}{2} \angle ABC$、$\angle GDC = \frac{1}{2} \angle CDA$です。

* $\angle GBC + \angle GDC = \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle CDA = \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle CDA) = \frac{1}{2} \times 150^\circ = 75^\circ$となります。

* 三角形GCDにおいて、外角の性質より、$\angle CBG + \angle x = \angle BCD$ から $x = \angle DGC$

* 同様に三角形GBCにおいて、外角の性質より、$\angle CDG + \angle x = \angle BAC$ から $x = \angle DGC$

* 四角形BCDGの内角の和は$360^\circ$なので、$\angle BCD + \angle DGC + \angle CBG + \angle CDG = 360^\circ$となります。また、$\angle BGC = 180^\circ - (\angle GBC + \angle GCB) = 180^\circ - (\angle GBC + \angle GDC)$. よって、$x = 180^\circ - (\angle GBC + \angle GDC)$

* $\angle BGC = x$と置くと、四角形CDGBの内角の和は$360^\circ$だから、$\angle GBC + \angle GDC + x + \angle BCD = 360^\circ$

* $\angle GBC + \angle GDC + \angle BCD = 75^\circ + 150^\circ = 225^\circ$

* $\angle DGC + \angle GBC + \angle GDC + \angle BCD = 360^\circ$, ここから、$x = 360^\circ - 225^\circ = 135^\circ$.

3. 最終的な答え

$x = 135^\circ$