三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^{\circ}$、$\angle B = 45^{\circ}$、$AB = 2\sqrt{3}$であるとき、BCの長さを求め、三角形ABCの面積を求め、さらに三角形ABCの外心とBとの距離を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^{\circ}$、$\angle B = 45^{\circ}$、$AB = 2\sqrt{3}$であるとき、BCの長さを求め、三角形ABCの面積を求め、さらに三角形ABCの外心とBとの距離を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle C$を求めます。三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので、

$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}$

次に、正弦定理を用いてBCの長さを求めます。

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{BC}{\sin 60^{\circ}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 75^{\circ}}$

$\sin 75^{\circ} = \sin (45^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、

$BC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$

$BC = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$

次に、三角形ABCの面積を求めます。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} (2\sqrt{3}) (3(\sqrt{6} - \sqrt{2})) \sin 45^{\circ}$

$= \sqrt{3} (3(\sqrt{6} - \sqrt{2})) \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\sqrt{12} - 2) = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2\sqrt{3} - 2) = 3\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$

$= 3(3 - \sqrt{3}) = 9 - 3\sqrt{3}$

次に、外心とBとの距離を求めます。外心は外接円の中心なので、外心と各頂点との距離は外接円の半径に等しいです。外接円の半径をRとすると、正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$2R = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{18} - 2\sqrt{6} = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$R = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$

外心とBとの距離はRなので、$3\sqrt{2} - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

BCの長さ: $3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$

三角形ABCの面積: $9 - 3\sqrt{3}$

外心とBとの距離: $3\sqrt{2} - \sqrt{6}$