三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AB = 2\sqrt{3}$ である。 このとき、$BC$の長さと$\triangle ABC$の面積を求め、さらに三角形の外心とBとの距離を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $AB = 2\sqrt{3}$ である。

このとき、$BC$の長さと$\triangle ABC$の面積を求め、さらに三角形の外心とBとの距離を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\angle C$ を求める。

三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

(2) 正弦定理より、$BC$ の長さを求める。

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$BC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4}} = \frac{12}{ \sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{12 (\sqrt{3}-1)}{ \sqrt{2} (3-1)} = \frac{12(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1) = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2})$

したがって、$BC = 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$

(3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}) \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3} (3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}= \sqrt{3} (3\sqrt{3} -3) = 9 - 3 \sqrt{3}$

$\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}(2\sqrt{3}) AC \sin 60$

$AC = \frac{BC}{\sin A} \sin B = \frac{(3\sqrt{6} - 3\sqrt{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{2} = (3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}) \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{\sqrt{2}}{2} = (3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3(2\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}(\sqrt{3} - 1) = 2\sqrt{3} (\sqrt{3} - 1)= 6-2\sqrt{3}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} (2\sqrt{3}) (6-2\sqrt{3}) \sin 60= \frac{\sqrt{3}}{2} (6-2\sqrt{3}) \sqrt{3} = \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} (6-2\sqrt{3})}{2}= \frac{3 (6-2\sqrt{3})}{2}= \frac{18-6\sqrt{3}}{2}=9-3\sqrt{3}$

(4) 外接円の半径をRとする。

正弦定理より、$2R = \frac{AB}{\sin C} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 75^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = 2\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{18}-2\sqrt{6} = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

$R=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$

外心とBとの距離は外接円の半径に等しいので $R = 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$.

3. 最終的な答え

$BC = 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$

$\triangle ABC = 9 - 3\sqrt{3}$

外心とBとの距離 $= 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$