この問題は、以下の2つのパートに分かれています。 パート1は、初期値問題である微分方程式を解く問題です。 (1) $y'' + y = 1, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 0$ (2) $2y'' - y' + y = 0, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 7$ パート2は、電磁場中を運動する荷電粒子の運動方程式に関する問題です。 (1) 電界 $\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$、磁束密度 $\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$、速度 $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ についての微分方程式を求める。 (2) 時間 $t=0$ における速度 $\mathbf{v}(0) = (v_0, 0, v_1)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ を求める。 (3) 前問(2)の結果を図示し、荷電粒子の運動について述べる。

1. 問題の内容

この問題は、以下の2つのパートに分かれています。

パート1は、初期値問題である微分方程式を解く問題です。

(1) $y'' + y = 1, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 0$

(2) $2y'' - y' + y = 0, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 7$

パート2は、電磁場中を運動する荷電粒子の運動方程式に関する問題です。

(1) 電界 $\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$、磁束密度 $\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$、速度 $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ についての微分方程式を求める。

(2) 時間 $t=0$ における速度 $\mathbf{v}(0) = (v_0, 0, v_1)$ のとき、$v_x$, $v_y$, $v_z$ を求める。

(3) 前問(2)の結果を図示し、荷電粒子の運動について述べる。

2. 解き方の手順

パート1：

(1) $y'' + y = 1, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 0$

まず、同次方程式 $y'' + y = 0$ の一般解を求めます。特性方程式は $\lambda^2 + 1 = 0$ であり、解は $\lambda = \pm i$ です。したがって、同次方程式の一般解は $y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x$ となります。

次に、非同次方程式 $y'' + y = 1$ の特殊解を求めます。定数関数 $y_p(x) = A$ を仮定すると、$y_p'' = 0$ となり、$0 + A = 1$ より $A = 1$ です。したがって、$y_p(x) = 1$ が特殊解です。

一般解は $y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x + 1$ となります。

初期条件 $y(0) = 0$ より $C_1 + 1 = 0$ なので、$C_1 = -1$ です。

$y'(x) = -C_1 \sin x + C_2 \cos x$ であり、初期条件 $y'(0) = 0$ より $C_2 = 0$ です。

したがって、$y(x) = -\cos x + 1 = 1 - \cos x$ です。

(2) $2y'' - y' + y = 0, \quad y(0) = 0, \quad y'(0) = 7$

特性方程式は $2\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$ であり、解は $\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{4}$ です。

したがって、一般解は $y(x) = e^{\frac{x}{4}}(C_1 \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + C_2 \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$ です。

初期条件 $y(0) = 0$ より $C_1 = 0$ です。

$y(x) = C_2 e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x)$

$y'(x) = C_2 (\frac{1}{4} e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x) + e^{\frac{x}{4}} \frac{\sqrt{7}}{4} \cos(\frac{\sqrt{7}}{4}x))$

初期条件 $y'(0) = 7$ より $C_2 \frac{\sqrt{7}}{4} = 7$ なので、$C_2 = \frac{28}{\sqrt{7}} = 4\sqrt{7}$ です。

したがって、$y(x) = 4\sqrt{7} e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x)$ です。

パート2：

(1) ローレンツ力は $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ であり、運動方程式は $m \frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})$ です。

$\mathbf{E} = (E_0, 0, 0)$, $\mathbf{B} = (B_0, 0, 0)$, $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ を代入すると、

$m \frac{d}{dt} (v_x, v_y, v_z) = q((E_0, 0, 0) + (v_x, v_y, v_z) \times (B_0, 0, 0))$

クロス積 $\mathbf{v} \times \mathbf{B} = (0, -v_z B_0, v_y B_0)$ なので、

$m \frac{dv_x}{dt} = qE_0$

$m \frac{dv_y}{dt} = -q v_z B_0$

$m \frac{dv_z}{dt} = q v_y B_0$

したがって、

$\frac{dv_x}{dt} = \frac{qE_0}{m}$

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{qB_0}{m} v_z$

$\frac{dv_z}{dt} = \frac{qB_0}{m} v_y$

(2) 初期条件 $\mathbf{v}(0) = (v_0, 0, v_1)$ を使います。

$\frac{dv_x}{dt} = \frac{qE_0}{m}$ より、$v_x(t) = \frac{qE_0}{m} t + C_1$ です。初期条件 $v_x(0) = v_0$ より、$C_1 = v_0$ です。したがって、$v_x(t) = \frac{qE_0}{m} t + v_0$ です。

$\omega = \frac{qB_0}{m}$ とおくと、

$\frac{dv_y}{dt} = -\omega v_z$

$\frac{dv_z}{dt} = \omega v_y$

これを解くために、$v_y'' = -\omega v_z'$ に $\frac{dv_z}{dt} = \omega v_y$ を代入すると、$v_y'' = -\omega^2 v_y$ となります。

これは単振動の式であり、$v_y(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ となります。

初期条件 $v_y(0) = 0$ より、$A = 0$ なので、$v_y(t) = B \sin(\omega t)$ です。

$v_z(t) = -\frac{1}{\omega} v_y'(t) = -\frac{1}{\omega} B \omega \cos(\omega t) = -B \cos(\omega t)$

初期条件 $v_z(0) = v_1$ より、$-B = v_1$ なので、$B = -v_1$ です。

したがって、$v_y(t) = -v_1 \sin(\omega t)$ であり、$v_z(t) = v_1 \cos(\omega t)$ です。

(3) $v_x(t) = \frac{qE_0}{m} t + v_0$ は等加速度運動を表します。$v_y(t) = -v_1 \sin(\omega t)$ と $v_z(t) = v_1 \cos(\omega t)$ は、$y$-$z$ 平面上での等速円運動を表します。したがって、荷電粒子の運動は、$x$ 軸方向に加速しながら、$y$-$z$ 平面上を円運動するらせん運動となります。

3. 最終的な答え

パート1：

(1) $y(x) = 1 - \cos x$

(2) $y(x) = 4\sqrt{7} e^{\frac{x}{4}} \sin(\frac{\sqrt{7}}{4}x)$

パート2：

(1)

$\frac{dv_x}{dt} = \frac{qE_0}{m}$

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{qB_0}{m} v_z$

$\frac{dv_z}{dt} = \frac{qB_0}{m} v_y$

(2)

$v_x(t) = \frac{qE_0}{m} t + v_0$

$v_y(t) = -v_1 \sin(\frac{qB_0}{m} t)$

$v_z(t) = v_1 \cos(\frac{qB_0}{m} t)$

(3) 荷電粒子の運動は、$x$ 軸方向に加速しながら、$y$-$z$ 平面上を円運動するらせん運動。