完全競争市場における企業の総費用関数 $TC(x) = x^3 - 3x^2 + 6x + 8$ が与えられています。財の市場価格が30のとき、企業の利潤を最大にする生産量 $x$ と、そのときの利潤の値を求めます。

1. 問題の内容

完全競争市場における企業の総費用関数 $TC(x) = x^3 - 3x^2 + 6x + 8$ が与えられています。財の市場価格が30のとき、企業の利潤を最大にする生産量 $x$ と、そのときの利潤の値を求めます。

2. 解き方の手順

利潤を $\pi(x)$ とすると、利潤は収入から総費用を引いたものとして表されます。収入は価格と生産量の積で計算されます。

したがって、利潤関数は

$$\pi(x) = 30x - TC(x) = 30x - (x^3 - 3x^2 + 6x + 8) = -x^3 + 3x^2 + 24x - 8$$

利潤を最大にする生産量を求めるために、利潤関数を $x$ で微分し、それが0になる $x$ を求めます。

$$\frac{d\pi(x)}{dx} = -3x^2 + 6x + 24$$

$\frac{d\pi(x)}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$$-3x^2 + 6x + 24 = 0$$

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$

$$(x - 4)(x + 2) = 0$$

$x = 4$ または $x = -2$ となります。

$x \geq 0$ なので、$x = 4$ が適切な解です。

次に、利潤関数を2回微分して、$x = 4$ で極大値を取ることを確認します。

$$\frac{d^2\pi(x)}{dx^2} = -6x + 6$$

$x = 4$ のとき

$$\frac{d^2\pi(4)}{dx^2} = -6(4) + 6 = -24 + 6 = -18 < 0$$

したがって、$x = 4$ で利潤は極大になります。

このときの利潤は

$$\pi(4) = -4^3 + 3(4^2) + 24(4) - 8 = -64 + 48 + 96 - 8 = 72$$

3. 最終的な答え

利潤を最大にする生産量は $x = 4$ であり、そのときの利潤の値は $72$ です。