与えられた高階線形同次微分方程式の一般解を求める。具体的には、以下の6つの微分方程式を解く。 (1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$ (2) $y^{(4)} + y'' = 0$ (3) $y^{(4)} + 5y'' + 4y = 0$ (4) $y''' - 3y'' + 2y' = 0$ (5) $y''' - y = 0$ (6) $y''' - 3y' - 2y = 0$

1. 問題の内容

与えられた高階線形同次微分方程式の一般解を求める。具体的には、以下の6つの微分方程式を解く。

(1) $y''' + y'' - 4y' - 4y = 0$

(2) $y^{(4)} + y'' = 0$

(3) $y^{(4)} + 5y'' + 4y = 0$

(4) $y''' - 3y'' + 2y' = 0$

(5) $y''' - y = 0$

(6) $y''' - 3y' - 2y = 0$

2. 解き方の手順

高階線形同次微分方程式の一般解を求めるには、特性方程式を解く必要がある。特性方程式の解の種類によって、一般解の形が決まる。

- 実数解 $r$ が重複度 $m$ で存在する場合、一般解には $e^{rx}, xe^{rx}, x^2e^{rx}, ..., x^{m-1}e^{rx}$ の形の項が含まれる。

- 複素数解 $a \pm bi$ が重複度 $m$ で存在する場合、一般解には $e^{ax}cos(bx), xe^{ax}cos(bx), x^2e^{ax}cos(bx), ..., x^{m-1}e^{ax}cos(bx)$ と $e^{ax}sin(bx), xe^{ax}sin(bx), x^2e^{ax}sin(bx), ..., x^{m-1}e^{ax}sin(bx)$ の形の項が含まれる。

各方程式について、特性方程式を立てて解き、一般解を求める。

(1) 特性方程式: $r^3 + r^2 - 4r - 4 = 0$。

因数分解すると $(r+1)(r-2)(r+2) = 0$。

解は $r = -1, 2, -2$。

一般解: $y = c_1e^{-x} + c_2e^{2x} + c_3e^{-2x}$.

(2) 特性方程式: $r^4 + r^2 = 0$。

$r^2(r^2 + 1) = 0$。

解は $r = 0$ (重複度2), $r = \pm i$。

一般解: $y = c_1 + c_2x + c_3cos(x) + c_4sin(x)$.

(3) 特性方程式: $r^4 + 5r^2 + 4 = 0$。

$(r^2 + 1)(r^2 + 4) = 0$。

解は $r = \pm i, \pm 2i$。

一般解: $y = c_1cos(x) + c_2sin(x) + c_3cos(2x) + c_4sin(2x)$.

(4) 特性方程式: $r^3 - 3r^2 + 2r = 0$。

$r(r^2 - 3r + 2) = 0$。

$r(r-1)(r-2) = 0$。

解は $r = 0, 1, 2$。

一般解: $y = c_1 + c_2e^{x} + c_3e^{2x}$.

(5) 特性方程式: $r^3 - 1 = 0$。

$(r - 1)(r^2 + r + 1) = 0$。

解は $r = 1, \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$.

一般解: $y = c_1e^{x} + e^{-\frac{1}{2}x}(c_2cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + c_3sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x))$.

(6) 特性方程式: $r^3 - 3r - 2 = 0$。

$(r+1)(r^2 - r - 2) = 0$。

$(r+1)(r+1)(r-2) = 0$。

解は $r = -1$ (重複度2), $r = 2$。

一般解: $y = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x} + c_3e^{2x}$.

3. 最終的な答え

(1) $y = c_1e^{-x} + c_2e^{2x} + c_3e^{-2x}$

(2) $y = c_1 + c_2x + c_3cos(x) + c_4sin(x)$

(3) $y = c_1cos(x) + c_2sin(x) + c_3cos(2x) + c_4sin(2x)$

(4) $y = c_1 + c_2e^{x} + c_3e^{2x}$

(5) $y = c_1e^{x} + e^{-\frac{1}{2}x}(c_2cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + c_3sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x))$

(6) $y = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x} + c_3e^{2x}$