水面上の6.0 cm離れた2点A, Bから同位相で波長2.0 cmの波が出ている。 (1) AP=8.0 cm, BP=5.0 cmであるとき、点Pはどのような振動状態にあるか。 (2) 2つの波が弱めあう点を連ねた線(節線)をすべて図中に描け。また、節線は全部で何本あるか。 (3) 節線が線分ABと交わる点は、Aから測ってそれぞれ何cmのところか。

1. 問題の内容

水面上の6.0 cm離れた2点A, Bから同位相で波長2.0 cmの波が出ている。

(1) AP=8.0 cm, BP=5.0 cmであるとき、点Pはどのような振動状態にあるか。

(2) 2つの波が弱めあう点を連ねた線(節線)をすべて図中に描け。また、節線は全部で何本あるか。

(3) 節線が線分ABと交わる点は、Aから測ってそれぞれ何cmのところか。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの振動状態を調べる。APとBPの距離の差を波長で割ることで考える。

$AP - BP = 8.0 - 5.0 = 3.0$ cm

$\lambda = 2.0$ cmなので、$\frac{AP - BP}{\lambda} = \frac{3.0}{2.0} = 1.5$

$1.5 = \frac{3}{2}$ は半波長の奇数倍であるため、点Pは弱めあう。したがって、点Pは振動しない。

(2) 節線は、$|AP - BP| = (n + \frac{1}{2})\lambda$ （nは0以上の整数）を満たす。

AB間では、$|AP - BP| \le AB = 6.0$ cm。

$\lambda = 2.0$ cmなので、

$(n + \frac{1}{2}) \times 2.0 \le 6.0$

$n + \frac{1}{2} \le 3$

$n \le 2.5$

したがって、n=0, 1, 2。つまり、節線は3本存在する。

図を描く際、A, Bの中点から始まる双曲線を描き、それが3本となるようにする。

それぞれの節線は、n=0, 1, 2に対応する。

(3) 線分AB上で節線と交わる点を考える。

線分AB上ではAP + BP = 6.0 cmである。節線の式は $|AP - BP| = (n + \frac{1}{2})\lambda$ で表される。

n = 0のとき $|AP - BP| = \frac{1}{2}\lambda = \frac{1}{2} \times 2.0 = 1.0$

AP - BP = 1.0 または BP - AP = 1.0

AP - BP = 1.0のとき AP + BP = 6.0と連立すると

2AP = 7.0 より AP = 3.5 cm

BP - AP = 1.0のとき AP + BP = 6.0と連立すると

2BP = 7.0 より BP = 3.5 cm。AP = 2.5 cm

n = 1のとき $|AP - BP| = \frac{3}{2}\lambda = \frac{3}{2} \times 2.0 = 3.0$

AP - BP = 3.0のとき AP + BP = 6.0と連立すると

2AP = 9.0 より AP = 4.5 cm

BP - AP = 3.0のとき AP + BP = 6.0と連立すると

2BP = 9.0 より BP = 4.5 cm。AP = 1.5 cm

n = 2のとき $|AP - BP| = \frac{5}{2}\lambda = \frac{5}{2} \times 2.0 = 5.0$

AP - BP = 5.0のとき AP + BP = 6.0と連立すると

2AP = 11.0 より AP = 5.5 cm

BP - AP = 5.0のとき AP + BP = 6.0と連立すると

2BP = 11.0 より BP = 5.5 cm。AP = 0.5 cm

3. 最終的な答え

(1) 振動しない。

(2) 3本。

(3) 0.5 cm, 1.5 cm, 2.5 cm, 3.5 cm, 4.5 cm, 5.5 cm