スカラーポテンシャル $\phi(x, y, z)$ について、$\text{rot}(\text{grad} \phi(x, y, z)) = \nabla \times (\nabla \phi(x, y, z)) = 0$ が成立することを具体的に計算して示す。

1. 問題の内容

スカラーポテンシャル $\phi(x, y, z)$ について、$\text{rot}(\text{grad} \phi(x, y, z)) = \nabla \times (\nabla \phi(x, y, z)) = 0$ が成立することを具体的に計算して示す。

2. 解き方の手順

まず、$\nabla \phi(x, y, z)$ を計算する。

次に、$\nabla \times (\nabla \phi(x, y, z))$ を計算する。

$\nabla \phi(x, y, z)$ は、以下のように定義される。

$\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)$

次に、$\nabla \times (\nabla \phi)$ を計算する。

$\nabla \times (\nabla \phi) =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\

\frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z}

\end{vmatrix}$

$= \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y} \right) \mathbf{i}

- \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x} \right) \mathbf{j}

+ \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x} \right) \mathbf{k}$

偏微分の順序交換が可能であると仮定すると、$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial y}$, $\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial z \partial x}$, $\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial x}$ が成り立つ。

したがって、

$\nabla \times (\nabla \phi) = (0) \mathbf{i} - (0) \mathbf{j} + (0) \mathbf{k} = (0, 0, 0) = \mathbf{0}$

3. 最終的な答え

$\nabla \times (\nabla \phi(x, y, z)) = \mathbf{0}$

したがって、rot(grad($\phi(x, y, z)$)) = 0 が成立する。