ある財の需要曲線、供給曲線（私的限界費用曲線）、社会的限界費用曲線が与えられている。この財は生産1単位につき30の負の外部性が発生している。市場均衡価格 $p^* = 80$、均衡取引量 $Q^* = 60$、社会的最適取引量 $Q^0 = 40$ である。 (1) 図中の空欄の価格を求める。 (2) 市場均衡における消費者余剰 $CS^*$、生産者余剰 $PS^*$、被害額 $DM^*$、総余剰 $TS^*$ を求める。 (3) 社会的最適取引量 $Q^0 = 40$ のもとでの総余剰 $TS^0$ と、市場均衡において生じる死荷重 $DWL$ を求める。

## 解答

1. 問題の内容

ある財の需要曲線、供給曲線（私的限界費用曲線）、社会的限界費用曲線が与えられている。この財は生産1単位につき30の負の外部性が発生している。市場均衡価格 $p^* = 80$、均衡取引量 $Q^* = 60$、社会的最適取引量 $Q^0 = 40$ である。

(1) 図中の空欄の価格を求める。

(2) 市場均衡における消費者余剰 $CS^*$、生産者余剰 $PS^*$、被害額 $DM^*$、総余剰 $TS^*$ を求める。

(3) 社会的最適取引量 $Q^0 = 40$ のもとでの総余剰 $TS^0$ と、市場均衡において生じる死荷重 $DWL$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 空欄の価格を求める。

* 空欄は需要曲線（限界便益曲線）と$Q=0$の交点の価格を表す。

* 需要曲線と社会的限界費用曲線の交点が、$Q^0 = 40$の時の価格を表す。

* 生産量1単位につき30の負の外部性が発生しているので、社会的限界費用曲線は供給曲線(私的限界費用曲線)より30高い。$Q^0 = 40$ の時の供給曲線上の価格は需要曲線と社会的限界費用曲線の交点の価格よりも30低い。

* 供給曲線は、$Q^* = 60$の時、$P^* = 80$を通る。

* 供給曲線は$P = aQ + b$の一次関数で表せる。

* 社会的限界費用曲線は $P = aQ + (b+30)$。

* 需要曲線も$P = cQ + d$の一次関数で表せる。

* 需要曲線は$Q^* = 60$の時、$P^* = 80$を通り、$Q^0 = 40$の時、社会的限界費用曲線と交わる。

* 供給曲線と社会的限界費用曲線の傾きは等しいので、需要曲線と社会的限界費用曲線の交点における供給曲線の価格は、$80 - 30 = 50$ となる。

* 需要曲線は、$Q=40$の時、$P=50+30=80$と社会的限界費用曲線と交わるので、$P=80$、また、$Q=60$の時、$P=80$を通る。

* $80 = 40c + d$

* $80 = 60c + d$

* 上記の連立方程式を解くと、$c=0$, $d=80$。

* 需要曲線は $P = 80$となる。問題文の図が間違っている。

* 需要曲線が間違っていると仮定して、需要曲線を $P=cQ+d$ とし、$Q=60$の時、$P=80$、$Q=0$の時、$P=110$を通るとする。

* $80 = 60c+d$

* $110 = d$

* これらを解くと、$c = -0.5$, $d=110$

* 需要曲線は $P = -0.5Q + 110$。

* $Q=0$の時の$P$は$110$。

(2) 各余剰を求める。

* $CS^*$: 消費者余剰は、需要曲線と均衡価格 $p^*=80$ の間の面積。需要曲線を $P=-0.5Q+110$とすると、

* $CS^* = (110-80)*60 / 2 = 30*60/2 = 900$

* $PS^*$: 生産者余剰は、均衡価格 $p^*=80$ と供給曲線の間の面積。供給曲線を$P = aQ+b$として求める。

* $80 = 60a+b$、また、$Q=0$の時、グラフより$P=20$と読み取れるので、$b=20$。

* $80 = 60a+20$, $60a = 60$, $a=1$。

* 供給曲線は $P = Q+20$。

* $PS^* = (80-20)*60/2 = 60*60/2 = 1800$

* $DM^*$: 被害額は、社会的限界費用曲線と供給曲線の差(30)と取引量 $Q^*=60$ の積。

* $DM^* = 30*60 = 1800$

* $TS^*$: 総余剰は、消費者余剰 + 生産者余剰 - 被害額。

* $TS^* = 900 + 1800 - 1800 = 900$

(3) 社会的最適取引量のもとでの総余剰と死荷重を求める。

* $TS^0$: 社会的最適取引量 $Q^0 = 40$ のもとでの総余剰。

* $Q=40$の時、需要曲線は $P = -0.5*40+110 = -20+110 = 90$。

* $Q=40$の時、供給曲線は $P = 40+20 = 60$。

* $CS^0 = (110-90)*40/2 = 20*40/2 = 400$

* $PS^0 = (60-20)*40/2 = 40*40/2 = 800$

* $DM^0 = 30*40 = 1200$

* $TS^0 = 400 + 800 - 1200 = 0$。これは誤り。正しい計算は、

* $TS^0 =$ 需要曲線と社会的限界費用曲線の間の面積（0から40まで）。

* 需要曲線: $P=-0.5Q + 110$

* 社会的限界費用曲線: $P=Q+50$

* 社会的限界費用曲線は、供給曲線$P=Q+20$より30高いので、$P=Q+20+30=Q+50$。

* $TS^0 = \int_0^{40} (-0.5Q + 110 - (Q + 50)) dQ = \int_0^{40} (-1.5Q + 60) dQ$

* $TS^0 = [-0.75Q^2 + 60Q]_0^{40} = -0.75*40^2 + 60*40 = -0.75*1600 + 2400 = -1200+2400 = 1200$

* $DWL$: 死荷重は、市場均衡における総余剰と社会的最適取引量における総余剰の差。

* $DWL = TS^0 - TS^* = 1200 - 900 = 300$

3. 最終的な答え

(1) 110

(2) $CS^* = 900$, $PS^* = 1800$, $DM^* = 1800$, $TS^* = 900$

(3) $TS^0 = 1200$, $DWL = 300$