与えられた回路において、インピーダンス $Z_1 = 10 + j5 \, [\Omega]$ と $Z_2 = 5 + j10 \, [\Omega]$ が直列に接続されている。 - ab間のインピーダンス $Z$ の複素数表示と極形式を求めます。 - 端子a-b間に電圧 $V = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ$ を加えたとき、a-b間を流れる電流 $I$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた回路において、インピーダンス $Z_1 = 10 + j5 \, [\Omega]$ と $Z_2 = 5 + j10 \, [\Omega]$ が直列に接続されている。

- ab間のインピーダンス $Z$ の複素数表示と極形式を求めます。

- 端子a-b間に電圧 $V = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ$ を加えたとき、a-b間を流れる電流 $I$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ab間のインピーダンス $Z$ の計算:

$Z_1$と$Z_2$が直列に接続されているため、ab間のインピーダンス $Z$ は $Z_1$と$Z_2$の和で求められます。

$Z = Z_1 + Z_2 = (10 + j5) + (5 + j10) = 15 + j15 \, [\Omega]$

(2) インピーダンス $Z$ の極形式の計算:

$Z = 15 + j15$ の絶対値 $|Z|$ は、

$|Z| = \sqrt{15^2 + 15^2} = \sqrt{225 + 225} = \sqrt{450} = 15\sqrt{2} \, [\Omega]$

位相 $\theta$ は、

$\theta = \arctan\left(\frac{15}{15}\right) = \arctan(1) = 45^\circ$

したがって、$Z$ の極形式は、

$Z = 15\sqrt{2} \angle 45^\circ \, [\Omega]$

(3) 電流 $I$ の計算:

オームの法則より、$I = \frac{V}{Z}$ である。

$V = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ \, [\text{V}]$

$Z = 15\sqrt{2} \angle 45^\circ \, [\Omega]$

したがって、

$I = \frac{30\sqrt{2} \angle 15^\circ}{15\sqrt{2} \angle 45^\circ} = \frac{30\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} \angle (15^\circ - 45^\circ) = 2 \angle -30^\circ \, [\text{A}]$

3. 最終的な答え

ab間のインピーダンス $Z$ の複素数表示は、$Z = 15 + j15 \, [\Omega]$ であり、その極形式は $Z = 15\sqrt{2} \angle 45^\circ \, [\Omega]$ である。

端子a-b間に電圧 $V = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ$ を加えたとき、a-b間を流れる電流は $I = 2 \angle -30^\circ \, [\text{A}]$ である。