画像に書かれた微分方程式と初期条件が与えられています。 以下の初期値問題を解く必要があります。 $\ddot{x} + \frac{1}{5} \dot{x} + \frac{9}{100} x = 0$ $x(0) = 2, \dot{x}(0) = -\frac{1}{5}$

1. 問題の内容

画像に書かれた微分方程式と初期条件が与えられています。

以下の初期値問題を解く必要があります。

$\ddot{x} + \frac{1}{5} \dot{x} + \frac{9}{100} x = 0$

$x(0) = 2, \dot{x}(0) = -\frac{1}{5}$

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を求めます。

$r^2 + \frac{1}{5}r + \frac{9}{100} = 0$

この二次方程式を解きます。

$r = \frac{-\frac{1}{5} \pm \sqrt{(\frac{1}{5})^2 - 4 \cdot \frac{9}{100}}}{2}$

$r = \frac{-\frac{1}{5} \pm \sqrt{\frac{1}{25} - \frac{9}{25}}}{2}$

$r = \frac{-\frac{1}{5} \pm \sqrt{-\frac{8}{25}}}{2}$

$r = \frac{-\frac{1}{5} \pm \frac{2\sqrt{2}}{5}i}{2}$

$r = -\frac{1}{10} \pm \frac{\sqrt{2}}{5}i$

一般解は以下のようになります。

$x(t) = e^{-\frac{1}{10}t}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{2}}{5}t) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{2}}{5}t))$

初期条件$x(0)=2$を代入します。

$x(0) = e^0 (c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) = c_1 = 2$

したがって、$c_1 = 2$です。

次に$\dot{x}(t)$を求めます。

$\dot{x}(t) = -\frac{1}{10} e^{-\frac{1}{10}t}(c_1 \cos(\frac{\sqrt{2}}{5}t) + c_2 \sin(\frac{\sqrt{2}}{5}t)) + e^{-\frac{1}{10}t}(-\frac{\sqrt{2}}{5}c_1 \sin(\frac{\sqrt{2}}{5}t) + \frac{\sqrt{2}}{5}c_2 \cos(\frac{\sqrt{2}}{5}t))$

初期条件$\dot{x}(0) = -\frac{1}{5}$を代入します。

$\dot{x}(0) = -\frac{1}{10} (c_1 \cos(0) + c_2 \sin(0)) + (-\frac{\sqrt{2}}{5}c_1 \sin(0) + \frac{\sqrt{2}}{5}c_2 \cos(0)) = -\frac{1}{10}c_1 + \frac{\sqrt{2}}{5}c_2$

$-\frac{1}{5} = -\frac{1}{10}c_1 + \frac{\sqrt{2}}{5}c_2$

$c_1 = 2$を代入します。

$-\frac{1}{5} = -\frac{1}{10} \cdot 2 + \frac{\sqrt{2}}{5}c_2$

$-\frac{1}{5} = -\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{2}}{5}c_2$

$0 = \frac{\sqrt{2}}{5}c_2$

$c_2 = 0$

したがって、解は

$x(t) = 2e^{-\frac{1}{10}t}\cos(\frac{\sqrt{2}}{5}t)$

3. 最終的な答え

$x(t) = 2e^{-\frac{1}{10}t}\cos(\frac{\sqrt{2}}{5}t)$