単位長さあたりの巻き数 $n$、長さ $l$、断面積 $S$ のソレノイドコイルがある。 (1) コイルに電流 $I$ を流すときのコイル内部の磁束密度 $B$ を求めよ。 (2) ソレノイドコイルの自己インダクタンスの大きさ $L$ を求めよ。 (3) コイルに蓄えられる磁気エネルギー密度 $u$ を求めよ。

1. 問題の内容

単位長さあたりの巻き数 $n$、長さ $l$、断面積 $S$ のソレノイドコイルがある。

(1) コイルに電流 $I$ を流すときのコイル内部の磁束密度 $B$ を求めよ。

(2) ソレノイドコイルの自己インダクタンスの大きさ $L$ を求めよ。

(3) コイルに蓄えられる磁気エネルギー密度 $u$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ソレノイドコイル内部の磁束密度 $B$ は、以下の式で与えられます。ここで $\mu_0$ は真空の透磁率です。単位長さあたりの巻き数が $n$ なので、コイル全体の巻き数は $nl$ となります。

$B = \mu_0 n I$

(2) 自己インダクタンス $L$ は、鎖交磁束 $\Phi$ を電流 $I$ で割ったものとして定義されます。

鎖交磁束 $\Phi$ は、コイルの巻き数 $nl$ に、コイル1巻きあたりの磁束をかけたものです。コイル1巻きあたりの磁束は、磁束密度 $B$ に断面積 $S$ をかけたものです。したがって、

$\Phi = (nl)BS = (nl)(\mu_0 n I)S = \mu_0 n^2 l S I$

よって、自己インダクタンス $L$ は、

$L = \frac{\Phi}{I} = \mu_0 n^2 l S$

(3) コイルに蓄えられる磁気エネルギー $U$ は、以下の式で与えられます。

$U = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2} (\mu_0 n^2 l S) I^2 = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 l S I^2$

磁気エネルギー密度 $u$ は、磁気エネルギー $U$ を体積 $V = lS$ で割ったものです。

$u = \frac{U}{V} = \frac{\frac{1}{2} \mu_0 n^2 l S I^2}{l S} = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2$

また、磁束密度 $B = \mu_0 n I$ より、$nI = \frac{B}{\mu_0}$ であるから、

$u = \frac{1}{2} \mu_0 (\frac{B}{\mu_0})^2 = \frac{B^2}{2\mu_0}$

3. 最終的な答え

(1) $B = \mu_0 n I$

(2) $L = \mu_0 n^2 l S$

(3) $u = \frac{1}{2} \mu_0 n^2 I^2 = \frac{B^2}{2\mu_0}$