与えられたRC回路における電流 $I(t)$ に関する微分方程式 $R \frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = \frac{dV}{dt}$ について、以下の問題を解く。 (1) 上記の微分方程式の一般解を求める。 (2) 交流電圧 $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ のときの一般解を求める。また、十分時間が経過した後の様子を記述する。

1. 問題の内容

与えられたRC回路における電流 $I(t)$ に関する微分方程式

$R \frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = \frac{dV}{dt}$

について、以下の問題を解く。

(1) 上記の微分方程式の一般解を求める。

(2) 交流電圧 $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ のときの一般解を求める。また、十分時間が経過した後の様子を記述する。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式の一般解を求める。

与えられた微分方程式は1階線形微分方程式である。まず、同次方程式を解く。

$R \frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} = 0$

$\frac{dI}{I} = - \frac{1}{RC} dt$

両辺を積分すると

$\int \frac{dI}{I} = \int - \frac{1}{RC} dt$

$\ln |I| = - \frac{t}{RC} + C_1$

$I = e^{- \frac{t}{RC} + C_1} = A e^{- \frac{t}{RC}}$

ここで $A = e^{C_1}$ は任意定数である。

次に、非同次方程式の特殊解を求める。$V(t)$が与えられていないので、一旦 $V(t)$ の関数として表す。

定数変化法を用いる。$I(t) = A(t) e^{- \frac{t}{RC}}$ とおくと、

$\frac{dI}{dt} = \frac{dA}{dt} e^{- \frac{t}{RC}} - \frac{1}{RC} A(t) e^{- \frac{t}{RC}}$

これを微分方程式に代入すると

$R (\frac{dA}{dt} e^{- \frac{t}{RC}} - \frac{1}{RC} A(t) e^{- \frac{t}{RC}}) + \frac{1}{C} A(t) e^{- \frac{t}{RC}} = \frac{dV}{dt}$

$R \frac{dA}{dt} e^{- \frac{t}{RC}} = \frac{dV}{dt}$

$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{R} e^{\frac{t}{RC}} \frac{dV}{dt}$

$A(t) = \int \frac{1}{R} e^{\frac{t}{RC}} \frac{dV}{dt} dt = \frac{1}{R} e^{\frac{t}{RC}} V(t) - \int \frac{1}{R} \frac{1}{RC} e^{\frac{t}{RC}} V(t) dt$

したがって、一般解は

$I(t) = A e^{- \frac{t}{RC}} + e^{- \frac{t}{RC}} \int \frac{1}{R} e^{\frac{t}{RC}} \frac{dV}{dt} dt$

(2) $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ の場合の一般解を求める。

$\frac{dV}{dt} = V_0 \omega \cos(\omega t)$

$I(t) = A e^{- \frac{t}{RC}} + e^{- \frac{t}{RC}} \int \frac{1}{R} e^{\frac{t}{RC}} V_0 \omega \cos(\omega t) dt$

ここで積分を計算する。

$\int e^{\frac{t}{RC}} \cos(\omega t) dt = \frac{RC e^{\frac{t}{RC}}}{1 + (\omega RC)^2} (\cos(\omega t) + \omega RC \sin(\omega t))$

したがって

$I(t) = A e^{- \frac{t}{RC}} + e^{- \frac{t}{RC}} \frac{V_0 \omega}{R} \frac{RC e^{\frac{t}{RC}}}{1 + (\omega RC)^2} (\cos(\omega t) + \omega RC \sin(\omega t))$

$I(t) = A e^{- \frac{t}{RC}} + \frac{V_0 \omega C}{1 + (\omega RC)^2} (\cos(\omega t) + \omega RC \sin(\omega t))$

$I(t) = A e^{- \frac{t}{RC}} + \frac{V_0}{R} \frac{\omega RC}{1 + (\omega RC)^2} \cos(\omega t) + \frac{V_0}{R} \frac{(\omega RC)^2}{1 + (\omega RC)^2} \sin(\omega t)$

十分時間が経過した後 ($t \to \infty$)、指数関数項は0に近づくため、定常状態では

$I(t) \approx \frac{V_0}{R} \frac{\omega RC}{1 + (\omega RC)^2} \cos(\omega t) + \frac{V_0}{R} \frac{(\omega RC)^2}{1 + (\omega RC)^2} \sin(\omega t)$

3. 最終的な答え

(1) 一般解:

$I(t) = A e^{- \frac{t}{RC}} + e^{- \frac{t}{RC}} \int \frac{1}{R} e^{\frac{t}{RC}} \frac{dV}{dt} dt$

(2) $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ のとき:

一般解: $I(t) = A e^{- \frac{t}{RC}} + \frac{V_0 \omega C}{1 + (\omega RC)^2} (\cos(\omega t) + \omega RC \sin(\omega t))$

十分時間が経過した後:

$I(t) \approx \frac{V_0}{R} \frac{\omega RC}{1 + (\omega RC)^2} \cos(\omega t) + \frac{V_0}{R} \frac{(\omega RC)^2}{1 + (\omega RC)^2} \sin(\omega t)$