所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ で与えられているとき、効用最大化問題 $$\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)$$ $$s.t. \quad Y = c_1 + s, \quad c_2 = (1+r)s$$ を解き、現在の消費 $c_1$ がいくらになるかを求める問題です。

1. 問題の内容

所得 $Y=1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln c_2$ で与えられているとき、効用最大化問題

$$\max_{c_1, c_2, s} U(c_1, c_2)$$

$$s.t. \quad Y = c_1 + s, \quad c_2 = (1+r)s$$

を解き、現在の消費 $c_1$ がいくらになるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、制約条件 $Y=1$ を代入して、

$1 = c_1 + s$ より $s = 1 - c_1$ となる。

これを $c_2 = (1+r)s$ に代入すると、

$c_2 = (1+r)(1 - c_1)$ となる。

これを効用関数に代入すると、

$U(c_1, c_2) = 0.7 \ln c_1 + 0.3 \ln ((1+r)(1 - c_1))$ となる。

これを $c_1$ で微分して0とおく。

$\frac{dU}{dc_1} = \frac{0.7}{c_1} + \frac{0.3}{1 - c_1} (-1) = 0$

$\frac{0.7}{c_1} = \frac{0.3}{1 - c_1}$

$0.7(1 - c_1) = 0.3 c_1$

$0.7 - 0.7 c_1 = 0.3 c_1$

$0.7 = c_1$

したがって、最適な $c_1$ は $0.7$ となる。

3. 最終的な答え

現在の消費 $c_1$ は $0.7$ となります。