問題は、基礎物理数学の期末試験問題です。 1. 積分計算(3問)

1. 問題の内容

問題は、基礎物理数学の期末試験問題です。

1. 積分計算(3問)

2. ベクトルの計算

3. 勾配とテイラー展開

4. 線積分

5. 微分方程式

今回は、5番の微分方程式を解きます。与えられた微分方程式は $dN(t)/dt = -tN(t)$ です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離形なので、以下の手順で解きます。

1. $N(t)$ で両辺を割ります。

$$\frac{1}{N(t)} \frac{dN(t)}{dt} = -t$$

2. 両辺を $t$ で積分します。

$$\int \frac{1}{N(t)} \frac{dN(t)}{dt} dt = \int -t dt$$

$$\int \frac{1}{N} dN = -\int t dt$$

3. 積分を実行します。

$$\ln|N(t)| = -\frac{1}{2}t^2 + C$$

4. 両辺の指数を取ります。

$$|N(t)| = e^{-\frac{1}{2}t^2 + C} = e^C e^{-\frac{1}{2}t^2}$$

5. $A = \pm e^C$ と置き、$N(t)$ について解きます。$A$ は積分定数です。

$$N(t) = A e^{-\frac{1}{2}t^2}$$

3. 最終的な答え

微分方程式 $dN(t)/dt = -tN(t)$ の一般解は、

$$N(t) = A e^{-\frac{1}{2}t^2}$$

です。ここで、$A$は任意定数です。