長さ $1.5 \, \text{m}$、質量 $3 \, \text{kg}$ の一様な棒が、一端から $0.5 \, \text{m}$ の位置で自由に回転できるように支えられている。はじめ、棒は静止している。棒の長い方の端に $20 \, \text{N}$ の力を、棒と垂直な向きに加えた時の、棒の回転運動を求めよ。

1. 問題の内容

長さ $1.5 \, \text{m}$、質量 $3 \, \text{kg}$ の一様な棒が、一端から $0.5 \, \text{m}$ の位置で自由に回転できるように支えられている。はじめ、棒は静止している。棒の長い方の端に $20 \, \text{N}$ の力を、棒と垂直な向きに加えた時の、棒の回転運動を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 回転軸からの力の作用点までの距離 $r$ を求める。棒の長さは $1.5 \, \text{m}$ で、回転軸は一端から $0.5 \, \text{m}$ の位置にあるので、回転軸から力の作用点までの距離は $1.5 \, \text{m} - 0.5 \, \text{m} = 1.0 \, \text{m}$ である。

したがって、$r = 1.0 \, \text{m}$ である。

(2) トルク $\tau$ を計算する。トルクは、力 $F$ と回転軸からの距離 $r$ の積で与えられる。力は $20 \, \text{N}$ であり、棒と垂直な向きに力が加わっているので、

$\tau = rF = (1.0 \, \text{m})(20 \, \text{N}) = 20 \, \text{N}\cdot\text{m}$

(3) 棒の回転軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。一端からの距離 $a$ の位置に回転軸があるときの慣性モーメントは、

$I = \frac{1}{3} m L^2 - maL + ma^2$ で与えられる。

ここで、$m=3 \, \text{kg}$ は棒の質量、$L=1.5 \, \text{m}$ は棒の長さ、$a=0.5 \, \text{m}$ は回転軸の位置である。

よって、

$I = \frac{1}{3} (3 \, \text{kg}) (1.5 \, \text{m})^2 - (3 \, \text{kg}) (0.5 \, \text{m}) (1.5 \, \text{m}) + (3 \, \text{kg}) (0.5 \, \text{m})^2$

$I = (1.5)^2 - (3)(0.5)(1.5) + (3)(0.25) = 2.25 - 2.25 + 0.75 = 0.75 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2$

(4) 角加速度 $\alpha$ を計算する。回転の運動方程式 $\tau = I \alpha$ より、

$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{20 \, \text{N}\cdot\text{m}}{0.75 \, \text{kg}\cdot\text{m}^2} = \frac{20}{0.75} = \frac{80}{3} \approx 26.67 \, \text{rad/s}^2$

3. 最終的な答え

棒の回転運動は角加速度 $\alpha = \frac{80}{3} \, \text{rad/s}^2 \approx 26.67 \, \text{rad/s}^2$ で表される。