誘電率 $\epsilon_1$ と $\epsilon_2$ ($\epsilon_1 > \epsilon_2$) の2つの誘電体が平行平板電極間に接している。電極間に電圧 $V$ を与えたとき、 (1) 境界条件 (2) 各誘電体中の電束密度 $D_1$, $D_2$ および電界 $E_1$, $E_2$、 (3) 各誘電体で蓄えられるエネルギー密度 $u_1$, $u_2$、 (4) 境界面に働く力の大きさ $f$ とその向きを求める。

## 問題5の解答

1. 問題の内容

誘電率 $\epsilon_1$ と $\epsilon_2$ ($\epsilon_1 > \epsilon_2$) の2つの誘電体が平行平板電極間に接している。電極間に電圧 $V$ を与えたとき、

(1) 境界条件

(2) 各誘電体中の電束密度 $D_1$, $D_2$ および電界 $E_1$, $E_2$、

(3) 各誘電体で蓄えられるエネルギー密度 $u_1$, $u_2$、

(4) 境界面に働く力の大きさ $f$ とその向きを求める。

2. 解き方の手順

(1) 境界条件

電束密度の法線成分は連続である。$\epsilon_1 > \epsilon_2$なので、誘電体1の方が電束密度、電界ともに大きくなる。

$D_1 = D_2 = D$

$E_1 = \frac{D}{\epsilon_1}, E_2 = \frac{D}{\epsilon_2}$

電極間の距離を $d$ とすると、$V = E_1 x + E_2 (d-x)$ となる。$x$は誘電体1の厚さ。$V = \frac{Dx}{\epsilon_1} + \frac{D(d-x)}{\epsilon_2}$

$D = \frac{V}{\frac{x}{\epsilon_1} + \frac{d-x}{\epsilon_2}} = \frac{\epsilon_1 \epsilon_2 V}{\epsilon_2 x + \epsilon_1 (d-x)} = \frac{\epsilon_1 \epsilon_2 V}{d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2)}$

(2) 各誘電体中の電束密度と電界

$D_1 = D_2 = D = \frac{\epsilon_1 \epsilon_2 V}{d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2)}$

$E_1 = \frac{D}{\epsilon_1} = \frac{\epsilon_2 V}{d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2)}$

$E_2 = \frac{D}{\epsilon_2} = \frac{\epsilon_1 V}{d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2)}$

(3) 各誘電体で蓄えられるエネルギー密度

$u_1 = \frac{1}{2} \epsilon_1 E_1^2 = \frac{1}{2} \epsilon_1 (\frac{D}{\epsilon_1})^2 = \frac{D^2}{2 \epsilon_1} = \frac{1}{2} \frac{\epsilon_1 \epsilon_2^2 V^2}{(d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2))^2}$

$u_2 = \frac{1}{2} \epsilon_2 E_2^2 = \frac{1}{2} \epsilon_2 (\frac{D}{\epsilon_2})^2 = \frac{D^2}{2 \epsilon_2} = \frac{1}{2} \frac{\epsilon_1^2 \epsilon_2 V^2}{(d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2))^2}$

(4) 境界面に働く力

境界面に働く力は、誘電率の大きい方から小さい方へ引き込む力となる。

$f = \frac{1}{2} E^2 (\epsilon_1 - \epsilon_2) = \frac{1}{2} (\frac{D}{\epsilon_1})^2 (\epsilon_1 - \epsilon_2)= \frac{1}{2} \frac{D^2}{\epsilon_1^2} (\epsilon_1 - \epsilon_2) = \frac{1}{2} (\epsilon_1 - \epsilon_2)E_1^2 = \frac{(\epsilon_1-\epsilon_2)\epsilon_2^2 V^2}{2 (d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2))^2}$

3. 最終的な答え

(1) 境界条件: 電束密度の法線成分は連続。

(2) 電束密度と電界:

$D_1 = D_2 = D = \frac{\epsilon_1 \epsilon_2 V}{d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2)}$

$E_1 = \frac{\epsilon_2 V}{d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2)}$

$E_2 = \frac{\epsilon_1 V}{d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2)}$

(3) エネルギー密度:

$u_1 = \frac{1}{2} \frac{\epsilon_1 \epsilon_2^2 V^2}{(d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2))^2}$

$u_2 = \frac{1}{2} \frac{\epsilon_1^2 \epsilon_2 V^2}{(d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2))^2}$

(4) 境界面に働く力:

$f = \frac{(\epsilon_1-\epsilon_2)\epsilon_2^2 V^2}{2 (d \epsilon_1 - x (\epsilon_1 - \epsilon_2))^2}$、誘電率の大きい方から小さい方へ働く。