半径 $a$ から $b$ まで誘電率 $\epsilon_1$、半径 $b$ から $c$ まで誘電率 $\epsilon_2$ で満たされた同軸円筒コンデンサを充電したとき、内円筒の線電荷密度を $\lambda$ とする。以下の2つの問題を解く。 (1) 各領域の電界分布 $E_1, E_2$ および同軸円筒コンデンサの静電容量 $C$ を求める。 (2) $\epsilon_1$ と $\epsilon_2$ の大小関係によって電界がどのように変化するかを図示する。

1. 問題の内容

半径 $a$ から $b$ まで誘電率 $\epsilon_1$、半径 $b$ から $c$ まで誘電率 $\epsilon_2$ で満たされた同軸円筒コンデンサを充電したとき、内円筒の線電荷密度を $\lambda$ とする。以下の2つの問題を解く。

(1) 各領域の電界分布 $E_1, E_2$ および同軸円筒コンデンサの静電容量 $C$ を求める。

(2) $\epsilon_1$ と $\epsilon_2$ の大小関係によって電界がどのように変化するかを図示する。

2. 解き方の手順

(1) 電界分布 $E_1, E_2$ の計算

ガウスの法則を用いる。円筒座標系において、半径 $r$ の円筒面をガウス面として考える。

領域1: $a < r < b$

ガウスの法則より、

$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$

$E_1 (2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_1}$

$E_1 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_1 r}$

領域2: $b < r < c$

同様に、

$E_2 (2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\epsilon_2}$

$E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_2 r}$

静電容量 $C$ の計算

電位差 $V$ を計算する。

$V = -\int_c^a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = -\int_c^b E_2 dr - \int_b^a E_1 dr$

$V = -\int_c^b \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_2 r} dr - \int_b^a \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_1 r} dr$

$V = -\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_2} [\ln r]_c^b - \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_1} [\ln r]_b^a$

$V = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_2} \ln \frac{c}{b} + \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_1} \ln \frac{b}{a}$

静電容量 $C$ は $C = \frac{Q}{V}$ である。$Q = \lambda L$ より、

$C = \frac{\lambda L}{\frac{\lambda}{2\pi \epsilon_2} \ln \frac{c}{b} + \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_1} \ln \frac{b}{a}}$

$C = \frac{2\pi L}{\frac{1}{\epsilon_2} \ln \frac{c}{b} + \frac{1}{\epsilon_1} \ln \frac{b}{a}}$

(2) 電界の概形

$\epsilon_1 < \epsilon_2$ のとき、$E_1 > E_2$ となる。

$\epsilon_1 > \epsilon_2$ のとき、$E_1 < E_2$ となる。

電界は、$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon r}$ に比例するので、$r$ が大きくなるにつれて減少する。

3. 最終的な答え

(1) 電界分布:

$a < r < b$ で $E_1 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_1 r}$

$b < r < c$ で $E_2 = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_2 r}$

静電容量:

$C = \frac{2\pi L}{\frac{1}{\epsilon_2} \ln \frac{c}{b} + \frac{1}{\epsilon_1} \ln \frac{b}{a}}$

(2) 電界の概形:

（図示は省略。問題文の図中の解答欄に描画する。$\epsilon_1 < \epsilon_2$ のとき、電界は $r=b$ で小さくなり、$\epsilon_1 > \epsilon_2$ のとき、電界は $r=b$ で大きくなる。どちらの場合も、電界は距離 $r$ に反比例して減少する。）