与えられた回路において、$Z_1 = 10 + j5 [\Omega]$、$Y_2 = \frac{1}{25} - j\frac{2}{25} [S]$、角周波数 $\omega = 100 [rad/s]$ のとき、ab間のインピーダンス $Z$ の複素数表示と極表示、および端子a-b間に電圧 $V = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ$ を加えたときにa-b間を流れる電流 $I$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた回路において、$Z_1 = 10 + j5 [\Omega]$、$Y_2 = \frac{1}{25} - j\frac{2}{25} [S]$、角周波数 $\omega = 100 [rad/s]$ のとき、ab間のインピーダンス $Z$ の複素数表示と極表示、および端子a-b間に電圧 $V = 30\sqrt{2} \angle 15^\circ$ を加えたときにa-b間を流れる電流 $I$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) インピーダンス $Z_2$ を求める。

$Y_2 = \frac{1}{Z_2}$ より、

$Z_2 = \frac{1}{Y_2} = \frac{1}{\frac{1}{25} - j\frac{2}{25}} = \frac{25}{1 - 2j} = \frac{25(1 + 2j)}{(1 - 2j)(1 + 2j)} = \frac{25(1 + 2j)}{1 + 4} = \frac{25}{5}(1 + 2j) = 5(1 + 2j) = 5 + j10 [\Omega]$

(2) インピーダンス $Z$ を求める。$Z_1$ と $Z_2$ は直列なので、

$Z = Z_1 + Z_2 = (10 + j5) + (5 + j10) = 15 + j15 [\Omega]$

(3) $Z$ の極表示を求める。

$|Z| = \sqrt{15^2 + 15^2} = \sqrt{2 \times 15^2} = 15\sqrt{2}$

$\angle Z = \arctan{\frac{15}{15}} = \arctan{1} = 45^\circ$

よって、$Z = 15\sqrt{2} \angle 45^\circ [\Omega]$

(4) 電流 $I$ を求める。

$I = \frac{V}{Z} = \frac{30\sqrt{2} \angle 15^\circ}{15\sqrt{2} \angle 45^\circ} = \frac{30\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} \angle (15^\circ - 45^\circ) = 2 \angle -30^\circ [A]$

3. 最終的な答え

複素数表示：$Z = 15 + j15 [\Omega]$

極表示：$Z = 15\sqrt{2} \angle 45^\circ [\Omega]$

電流：$I = 2 \angle -30^\circ [A]$